geometria no euclidiana


 
GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA:
Los conceptos primitivos geométricos (punto, recta, plano) han surgido a partir de lanecesidad de medir distancias entre puntos o localidades, superficies y volúmenes deobjetos.En civilizaciones antiguas como la de Egipto, Asiria, India, etc. ya se conocían las principales figuras geométricas y la noción de ángulo. Pero fue en Grecia (Siglo VI y IIIa.C.principalmente) donde tuvo su principal desarrollo. En Alejandría, entre los años330 y 275 a. c. vivió un hombre que sistematizó y amplió los conocimientosgeométricos hasta entonces conocidos. Si bien pasó desapercibido (junto a su obra) ensu época, estableció, bajo la forma axiomática, las relaciones entre los conceptos primitivos y sus principales propiedades. De él hoy conocemos sólo su nombre,Euclides,y que escribió en trece libros denominados Stoikheia (elementos), los axiomasy los teoremas deducidos de ellos. Desgraciadamente no han llegado hasta nosotros todaesta bibliografía, sabemos de la existencia de ellos a través de los comentarios que sehan hecho posteriormente.En el primer libro se enuncian los axiomas de enlace o existencia que relacionan a losconceptos primitivos entre sí y susprincipales propiedades. De ellos, para este trabajo,sólo nos interesan los cinco primeros.Ellos son:1º- Trazar una recta de un punto cualquiera a otro: (lo que equivale a decir, por dos punto sólo pasa una recta )2º- Prolongar por continuidad en línea recta una línea limitada: (aquí surge la confusiónde suponer a la recta como línea abierta únicamente.)3º- Describir el círculo con centro y radiodado.4º- Todos los ángulos rectos son iguales.5º- Si una recta al intersecar a dos rectas en un plano, forman ángulos internos sobre unmismo lado (ángulos conjugados internos) cuya suma sea menor que dos rectas;entonces las rectas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarán del lado sobre elcual la suma sea menor que la de dos rectos.Este axioma fue motivo de discusión casi desde su formulación.El propio Euclides nolo utilizó hasta el teorema 29.Su elaboración y la impresión de redundancia motivó la suposición que deberíademostrarse como un teorema partiendo de los demás postulados. Sólo hace poco másde un siglo que la idea de tomarlo como un postulado independiente de los demás ganóadeptos y hace menos de cien años se demostró, efectivamente, que era imposibledemostrarlo.
NEGACIÓN DELQUINTO POSTULADO:
Como ya se ha dicho, de los cinco postulados del sistema euclidiano, los cuatro primeros traducen propiedades más o menos evidentes, pero el quinto llama la atención por su mayor complejidad y por carecer de la evidencia intuitiva de que gozan losdemás. Probablemente al propio Euclides le molestara esta deficiencia por lo que evitautilizarlo lo más posible.Sólo lo aplica porprimera vez para demostrar la proposición 29 del libro I que dice :"una recta que corta a dos paralelas forma con ellas ángulos alternos internos iguales,correspondientes iguales e interiores de un mismo lado (conjugados internos)suplementarios."El esfuerzo de Euclides por evitar el uso del postulado
V
y construir la geometría conindependencia del mismo justifica la muy repetida frase de queEuclides fue el primer geómetra no euclidiano, o que la geometría no euclidiana nació negando su paternidad.
 
La primera idea que prevaleció por más de veinte siglos fue la de querer demostrar este postulado. Los sucesivos ensayos de demostración no dieron otro resultado que llevarloa formas equivalentes, aunque, en ciertos casos, con apariencia muy distinta a la versiónoriginal.
CUANDO ELPARALELISMO EQUIVALE AL QUINTO POSTULADO:
Una tendencia que afloró repetidas veces fue la de modificar la definición de rectas paralelas. Para Euclides eran aquellas que "no se encuentran por más que se las prolongue" (Def. XXIII, libro I) . Proclo, matemático bizantino al que se le deben las pocas noticias sobre Euclides, las define diciendo: "la distancia entre dos puntos de dosrectas que no se...