Geometria plana





GEOMETRÍA
DEFINICIÓN.
Es aquella ciencia deductiva que tiene por objeto el estudio racional de las propiedades y relaciones de las llamadas figuras geométricas. Prescindiendo de la clase de materia que constituye, e interesándose por su forma y extensión.

CONCEPTO ETIMOLÓGICO
La voz GEOMETRÍA proviene del griego: Geos = Tierra y Metrón = Medida. Por consiguiente etimológicamentesignifica “medida de la tierra”.

DIVISIÓN
Se divide en dos grandes campos:

1. Geometría Plana: o llamada también PLANIMETRÍA, que se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntos constitutivos se hallan en un mismo plano. Ejemplo: los triángulos, cuadriláteros, etc.

2. Geometría del Espacio: o llamada también ESTEREOMETRÍA, que se ocupa del estudio de todas aquellas figuras cuyos puntosconstitutivos no se hallan en un mismo plano. Ejemplo: las pirámides, conos, cilindros, etc.

3. Geometría Analítica: estudia las figuras geométricas por medio de ecuaciones algebraicas.

OBJETO DE LA GEOMETRÍA
Consiste en el estudio de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas, utilizando el método RACIONAL, o sea mediante el RAZONAMIENTO, excluyendo por completo el uso de lossentidos.

NOCIONES FUNDAMENTALES

I. MÉTODO DEDUCTIVO
Es el método que consiste en proceder lógicamente de lo universal a lo particular.

II. CONCEPTOS PRIMITIVOS
En la geometría actual (AXIOMÁTICA) los conceptos primitivos o fundamentales como el punto, la recta y el plano no se definen, sólo se enuncian, estableciendo su existencia, debido a que no es posible referidos a otras mássencillos.

III. CONCEPTOS DEFINIBLES
Son todos aquellos que se obtienen a partir de los conceptos de triángulos, cuadriláteros, pirámides, conos, etc.

IV. PROPOSICIONES MATEMÁTICAS
Se llama proposición matemática al conjunto de palabras que afirman o niegan propiedades y relaciones de entes matemáticos. Ejemplos:

1. En todo triángulo isósceles, a los lados iguales se oponen ángulosiguales. (PROPOSICIÓN AFIRMATIVA)

2. En un triángulo escaleno no existen alturas iguales (PROPOSICIÓN NEGATIVA).


V. PROPOSICIONES GEOMÉTRICAS

1. Definición
Es aquella proposición relativa a una descripción o convención. Ejemplo: Triángulo isósceles es el triángulo que tiene dos lados iguales.

2. Axioma o Postulado
Es una proposición que se acepta como verdadero sin ningunademostración. Ejemplo: La recta contiene infinitos puntos.

3. Teorema
Es aquella proposición que por no ser evidente necesita demostración. Consta de 3 partes:

a) Hipótesis: Es la proposición inicial que se acepa como verdadera y que sirve de punto de partida al razonamiento.

b) Tesis: Es la proposición que se quiere demostrar.

c) Demostración: Es el conjunto de deducciones obtenidas mediante unrazonamiento lógico.

Ejemplo:
Teorema: En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.



Hipótesis: El ∆ ABC es rectángulo
Tesis : a2 + c2 = b2

4. Colorario
Es aquel teorema que se deduce fácilmente de otro precedente.

Ejemplo:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al cuadrado dela hipotenusa, menos el cuadrado del otro cateto.

Hipótesis: El ∆ ABC es rectángulo
Colorario: a2 = b2 - c2



5. Lema
Es un Teorema Preliminar que sirve de base para demostrar un Teorema Principal.

Ejemplo:
Lema
En todo triángulo isósceles, la suma de las perpendiculares trazadas desde un punto cualquiera de la base, a los lados iguales, es igual a una de las alturas igualesdel ∆.


Teorema principal
La suma de las perpendiculares trazadas desde un punto interior cualesquiera, a los tres lados de un ∆ equilátero, es igual a la altura del ∆.


6. Escolio
Es una advertencia o anotación que se fórmula con la finalidad de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

Ejemplo:
En el Teorema anterior, si el punto “P” se halla en el exterior del...