Geometria Planita
Páginas: 7 (1658 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2012
Geometría plana.
Proporcionalidad de segmentos. Teorema de Thales.
Consideremos dos rectas concurrentes r y r’. Sobre cada una de ellas tomamos segmentos iguales interceptados por un conjunto de rectas paralelas.
[pic]
En la figura se puede observar que:
En la recta r:
[pic]
En la recta r’:[pic]
Puede escribirse:
[pic]
O lo que es lo mismo:
[pic]
Igualmente:
[pic]
Considerando los tres pares de segmentos será:
[pic]
A esta conclusión llego Thales de Mileto En al siglo VI a. C. Y lo anuncio así:
Los segmentos interceptados sobre dosrectas concurrentes por un conjunto de paralelas son proporcionales.
[pic]
El valor de k es el de la constante o razón de proporcionalidad.
Los segmentos A’B’, B’C’ y C’D’ reciben el nombre de proyección paralela de los segmentos AB, BC y CD respectivamente. Son sus segmentos homólogos.
Aplicaciones del teorema de Thales
Segmento cuarto proporcional a tres segmentosdados a, b y c es el segmento x que verifica
[pic]
Segmento tercero proporcional a dos segmentos dados a y b es el segmento x que verifica
[pic]
La construcción es como la anterior pero con c= b.
Observa la figura.
[pic]
Triángulos de ladosproporcionales.
En los triángulos AB’B y AC’C, por el teorema de Thales, se verifica:
[pic]
Si por B trazamos una paralela a la recta AC’, se obtiene el punto C’’. Aplicando ahora el teorema de Thales a las rectas AC y CC’, tenemos:
[pic]
Pero C’C’’ = B’B por paralelismo.
Por lo que:
[pic]Proporción que comparada con la primera nos permite escribir:
[pic]
Si en un triángulo ACB, se dibuja una paralela a uno de sus lados, se obtiene un nuevo triángulo AC’B’ que diremos que esta en posición de Thales respecto al primero. Entre los lados de los dos triángulos se verifica:
[pic]
Dos triángulos enposición de Thales tienen los lados proporcionales.
AB’, AC’ y B’C’ son los lados homólogos de los lados AB, AC y BC respectivamente.
Si en un triángulo ABC se traza una recta paralela a un lado, el CA, por el punto medio de otro, el BC, se obtiene el segmento DE. Tenemos dos triángulos ABC y EBD que están en posición de Thales, luego tienen los lados proporcionales.[pic]
Por ser D el punto medio del lado BC, es [pic]
Por lo tanto:
[pic]
Así:
[pic]
El segmento DE recibe el nombre de paralela media del triángulo ABC y mide la mitad de su lado paralelo.
Triángulos semejantes
Acabamos de ver que dos triángulos enposición de Thales tienen los lados proporcionales. Si movemos uno de los triángulos, estos seguirán teniendo los lados proporcionales:
[pic]
Diremos que los triángulos ABC y EBD son semejantes, y al valor de la constante k le llamaremos razón de semejanza.
[pic]
Si observamos los triángulos ABC y EBD enposición de Thales, vemos que tienen los tres ángulos iguales, ya que:
[pic] Es común y
[pic] Por correspondientes
Dos triángulos semejantes tienen los tres ángulos iguales.
Observa que los lados homólogos son los opuestos a los ángulos respectivamente iguales. Debes tenerlo en cuenta al escribir las proporciones entre dichos lados.
Criterios de semejanza de triángulos...
Proporcionalidad de segmentos. Teorema de Thales.
Consideremos dos rectas concurrentes r y r’. Sobre cada una de ellas tomamos segmentos iguales interceptados por un conjunto de rectas paralelas.
[pic]
En la figura se puede observar que:
En la recta r:
[pic]
En la recta r’:[pic]
Puede escribirse:
[pic]
O lo que es lo mismo:
[pic]
Igualmente:
[pic]
Considerando los tres pares de segmentos será:
[pic]
A esta conclusión llego Thales de Mileto En al siglo VI a. C. Y lo anuncio así:
Los segmentos interceptados sobre dosrectas concurrentes por un conjunto de paralelas son proporcionales.
[pic]
El valor de k es el de la constante o razón de proporcionalidad.
Los segmentos A’B’, B’C’ y C’D’ reciben el nombre de proyección paralela de los segmentos AB, BC y CD respectivamente. Son sus segmentos homólogos.
Aplicaciones del teorema de Thales
Segmento cuarto proporcional a tres segmentosdados a, b y c es el segmento x que verifica
[pic]
Segmento tercero proporcional a dos segmentos dados a y b es el segmento x que verifica
[pic]
La construcción es como la anterior pero con c= b.
Observa la figura.
[pic]
Triángulos de ladosproporcionales.
En los triángulos AB’B y AC’C, por el teorema de Thales, se verifica:
[pic]
Si por B trazamos una paralela a la recta AC’, se obtiene el punto C’’. Aplicando ahora el teorema de Thales a las rectas AC y CC’, tenemos:
[pic]
Pero C’C’’ = B’B por paralelismo.
Por lo que:
[pic]Proporción que comparada con la primera nos permite escribir:
[pic]
Si en un triángulo ACB, se dibuja una paralela a uno de sus lados, se obtiene un nuevo triángulo AC’B’ que diremos que esta en posición de Thales respecto al primero. Entre los lados de los dos triángulos se verifica:
[pic]
Dos triángulos enposición de Thales tienen los lados proporcionales.
AB’, AC’ y B’C’ son los lados homólogos de los lados AB, AC y BC respectivamente.
Si en un triángulo ABC se traza una recta paralela a un lado, el CA, por el punto medio de otro, el BC, se obtiene el segmento DE. Tenemos dos triángulos ABC y EBD que están en posición de Thales, luego tienen los lados proporcionales.[pic]
Por ser D el punto medio del lado BC, es [pic]
Por lo tanto:
[pic]
Así:
[pic]
El segmento DE recibe el nombre de paralela media del triángulo ABC y mide la mitad de su lado paralelo.
Triángulos semejantes
Acabamos de ver que dos triángulos enposición de Thales tienen los lados proporcionales. Si movemos uno de los triángulos, estos seguirán teniendo los lados proporcionales:
[pic]
Diremos que los triángulos ABC y EBD son semejantes, y al valor de la constante k le llamaremos razón de semejanza.
[pic]
Si observamos los triángulos ABC y EBD enposición de Thales, vemos que tienen los tres ángulos iguales, ya que:
[pic] Es común y
[pic] Por correspondientes
Dos triángulos semejantes tienen los tres ángulos iguales.
Observa que los lados homólogos son los opuestos a los ángulos respectivamente iguales. Debes tenerlo en cuenta al escribir las proporciones entre dichos lados.
Criterios de semejanza de triángulos...
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