Geometria Simpla

Introducci´n a la Geometr´ o ıa Simpl´ctica y la Din´mica e a Hamiltoniana H´ctor S´nchez Morgado e a
´ Instituto de Matematicas, UNAM, Ciudad Universitaria ´ ´ C. P. 04510, Cd. de Mexico, Mexico.

´ Indice general
Cap´ ıtulo 1. Algebra lineal simpl´ctica e 1. Formas simpl´cticas e 2. Subespacios de un espacio simpl´ctico e Cap´ ıtulo 2. Variedades 1. Campos vectoriales y flujos 2.Integraci´n en cadenas o 3. Conexiones y geod´sicas e Cap´ ıtulo 3. Variedades Simpl´cticas e 1. Variedades Simpl´cticas e 2. Grupos de Lie 3. El teorema de Darboux 4. Acciones simpl´cticas e Cap´ ıtulo 4. El formalismo can´nico o 1. Las ecuaciones de Hamilton 2. Hamiltoninos Aut´nomos o 3. Principios variacionales 4. La funci´n de acci´n. La ecuaci´n de Hamilton-Jacobi o o o 5. El m´todo de Hamilton -Jacobi. Funciones generatrices e Cap´ ıtulo 5. Teor´ de Aubry-Mather ıa 1. Transformaciones twist del anillo 2. Un principio variacional 3. El teorema de Aubry - Mather Bibliograf´ ıa 5 5 8 13 13 19 24 29 29 31 36 39 43 43 46 47 49 51 55 55 57 59 63

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CAP´ ıTULO 1

Algebra lineal simpl´ctica e
1. Formas simpl´cticas e

´ Definicion 1.1. Sea V espacio vectorial sobre R. Una formasimpl´ctie ca en V es una funci´n bilineal ω : V × V → R que o Es antisim´trica o sea ω(v, w) = −ω(w, v) o equivalentemene te ω(v, v) = 0. No es degenerada o sea que ω(v.w) = 0 ∀w ∈ V → v = 0 Si ω es una forma simpl´ctica en V decimos que (V, ω) es un espacio e lineal simpl´ctico. e Dada una base e = {e1 , . . . , en } de V defina la matriz ωe = (ωij ) = (ω(ei , ej ). Entonces ω es una forma simpl´ctica si ys´lo si ωe es antie o sim´trica e invertible. e ´ Proposicion 1.1. Sea ω : V × V → R una funcion bilineal antisim´trica. Entonces hay una base e de V tal que e   0 Em 0 ωe = −Em 0 0 0 0 0 donde Em es la matriz identidad m × m. Por lo tanto, si ω es simpl´ctica entonces hay una base e llamada e simpl´ctica tal que e 0 Em ωe = −Em 0 y dim V = 2m. Demostraci´n.. Si ω = 0 escogemos e1 , f1 ∈ Vtal que ω(e1 , f1 ) = o 1. Sea V1 = {v ∈ V : ω(v, e1 ) = ω(v, f1 ) = 0} Si ω|V1 × V1 no es cero escogemos e2 , f2 ∈ V1 tal que ω(e2 , f2 ) = 1. Continuando el proceso construimos vectores linealmente independientes e1 , . . . em , f1 . . . fm tales que poniendo em+j = fj , j = 1, . . . m y Vk = {v ∈ V : ω(v, ej ) = 0, j = 1, . . . 2k}
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´ 1. ALGEBRA LINEAL SIMPLECTICA

tenemos que ω|Vk ×Vk = 0. Si Vk = {0}, ω es simpl´ctica. En otro caso e escogemos {e2m+1 , . . . en } base de Vk . Para el espacio vectorial V , denotemos por V ∗ al espacio dual, por ∗ V ⊗ V ∗ al espacio de funciones bilineales y por ∧2 (V ) al espacio de funciones bilineales antisim´tricas. Analogamente definimos el espacio e ∧k (V ) de funciones multilineales antisim´tricas ω : V k → R. Dados e ∗ ∗ ∗ h, g ∈ Vdefinimos g ⊗ h ∈ V ⊗ V y g ∧ h ∈ ∧2 (V ) mediante g ⊗ h(v, w) = g(v)h(w) g ∧ h(v, w) = g(v)h(w) − h(w)g(v) Dada la base e consideremos la base dual = {e∗ , . . . , e∗ } definida por 1 n e∗ (ej ) = i Si ω ∈ ∧2 (V ) entonces ω=
i 0. Sea B el isomorfismo de V cuya la matriz en la base e es j diag(λ1 , . . . , λn ). Entonces B es el unico operador positivo autoadjunto ´ 2 2 tal que B = −A . Se puedetambi´n definir B por e √ 1 (1.1) B= z(zE + A2 )−1 dz 2πi α donde α es una curva cerrada en el semiplano z > 0 que encierra los o valores λ2 , . . . , λ2 . La exprsi´n (1.1) implica que AB = BA. Definiendo n 1 −1 J = AB tenemos J 2 = A2 B −2 = −E ω(Jv, Jw) = γ(AJv, Jw) = −γ(Bv, Jw) = −γ(v, Aw) = ω(v, w) g(v, v) = ω(v, Jv) = γ(Av, Jw) = −γ(v, AJw) = γ(v, Bv) ≥ 0
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CAP´ ıTULO 2

Variedades
1. Camposvectoriales y flujos

´ Definicion 2.1. Sea M una variedad diferenciable. Denotaremos por X(M ) el conjunto de campo vectoriales diferenciables en M . Si α : I ⊂ R → M es una curva diferenciable, definimos el vector tangente a la curva en α(t) por α (t) = α∗ (d/dt)t . ´ Observacion 2.1. Sea h : M → N un difeomorfismo y sea X ∈ X(M ) consideremos el campo vectorial h∗ X ∈ X(N ) definido por...