geometria

Capitulo 1:

TRIGONOMETRÍA

1.1. TRIGONOMETRIA PLANA
Se dice que a los antiguos egipcios se les planteó el siguiente problema:
¿cómo medir, calcular o estimar la distancia de un barco a un punto
determinado de la playa? Mandar un bote con una cuerda lo
suficientemente larga no parece ser una buena solución: ¿y si el barco es
un barco de guerra enemigo que se apresta a atacar el puerto?Conocer la
distancia a que se encuentra podría tener como objetivo el poder lanzarle
algún objeto contundente.

Figura 1.1
Existen otros problemas similares, mas cotidianos: ¿cómo calcular o medir
la altura de un árbol? Tal como antes, uno podría intentar subir hasta la
punta del árbol con una huincha lo suficientemente larga. Pero el método
tampoco parece muy bueno: aparte de lo trabajosoque es, hay el claro
peligro de romper la última rama y precipitarse hasta el suelo.

1

Figura 1.2

Más interesante y difícil aún parece ser el problema de calcular la altura
de un cerro, haciendo mediciones desde su base.

Figura 1.3

2

Una solución ingeniosa de todos estos problemas queda ya insinuada en
los dibujos que se han presentado: no es difícil medir en el terreno losángulos indicados, medir la distancia que es accesible, hacer un dibujo a
escala en un papel y medir con una regla la distancia a escala que se
busca. Solo se necesita multiplicar por el factor de escala para obtener la
distancia buscada.
Esta solución tiene, al menos, tres desventajas:
ñ lentitud del procedimiento
ñ precisión precaria, sobretodo si las escalas a tomar son muy
grandes:allí el simple grosor del trazado del lápiz con que se hace
el dibujo influye en el resultado final
ñ dificultades manuales en realizar el dibujo en un papel.
Por otro lado la solución obtenida dibujando a escala tiene una hipótesis
oculta que es necesario esclarecer y discutir:

Figura 1.4
Si T V œ 5T w V w , entonces se supone que también T F œ 5T w F w con el
mismo factor de escala 5 . Estahipótesis es correcta pues los triángulos
?T VF y ?T w V w F w son semejantes ya que , por construcción, tienen
todos sus ángulos iguales: ¡Teorema de Thales! Dividiendo las igualdades
anteriores resulta:
TF
TV

œ

5T w F w
5T w Vw

3

œ

T w Fw
T w Vw

Es decir, las razones entre los lados del triángulo no dependen de la
escala. Sólo dependerá de los ángulos α y " . Sillamamos:
3 Ðα ß " Ñ œ

TF
TV

entonces bastará con conocer el número 3Ðαß " Ñ para resolver nuestro
problema. En efecto, la longitud T F (buscada) será 3Ðαß " Ñ multiplicada
por T V (medida) : T F œ 3Ðαß " ÑT V .
El problema se solucionaría si pudiéramos fabricar listas de esas razones
para una gama bastante amplia de ángulos α y " . Tales listas existen y
se llaman Tablas Trigonométricas.Sin embargo, tales Tablas ya
pertenecen a la Historia: el desarrollo de las calculadoras de bolsillo
proporcionan con un solo toque los números que se han estado buscando
en las Tablas. Cómo hacer estas listas es un problema cuya solución más
completa exige un cierto desarrollo del cálculo infinitesimal. Sin
embargo, en principio se pueden hacer con un despliegue de mucha
paciencia, midiendocon acuciosidad los ángulos y los trazos en cuestión.
1.2. DEFINICIONES BÁSICAS (para ángulos agudos)
Históricamente surgen las siguientes razones, convencionales, definidas
para un triángulo rectángulo:

Figura 1.5
ñ =/8 α œ + : es el seno del ángulo α
,
ñ -9= α œ - À es el coseno del ángulo α
,
ñ >1 α œ + : es la tangente del ángulo α
-

4

Se definen también los inversosmultiplicativos de las funciones
anteriores:
,
ñ -9=/- α œ + : es la cosecante de α
,
ñ =/- α œ - À es la secante de α
ñ -9>1 α œ + : es la cotangente de α
Las funciones coseno, cotangente y cosecante se denominan también
cofunciones de las funciones seno, tangente y secante respectivamente.
Es necesario destacar que estas definiciones, tal como han sido hechas,
solo tienen sentido si el...