geometria

INTRO. GEOMETRÍA ANALÍTICA
Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas
de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como generalización de lo ya visto
sobre coordenadas cartesianas.
Se estudiará la ecuación de una recta cualquiera y se analizarán las posiciones de rectas en virtud de su
ecuación. Se terminaráhaciendo un estudio sobre medidas de ángulos, distancias y áreas de figuras
elementales.
Los primeros métodos de la geometría analítica se deben a Menaecmo (aprox. 350 a.C.), quien llega a
plantearse problemas de intersección de superficies, aplicando técnicas que, si bien no incluyen todavía las
coordenadas, las llevan ocultas en su tratamiento conceptual.
Algo parecido ocurre con Apoloniode Perga (250 a.C.−190 a.C. aprox.), el cual demostró diversos resultados
relacionados con rectas y circunferencias empleando técnicas similares a las de Menaecmo.
El matemático parisino Nicole Oresme (1321−1382), obispo de Lisieux, hizo algunos trabajos haciendo uso
de la longitud y la latitud, equivalentes a las actuales abscisa y ordenada.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; La geometríaanalítica propiamente dicha comienza con los
matemáticos René Descartes (1596−1650) y Pierre de Fermat (1601−1665), quienes en sus trabajos llegan a
considerar sistemas de coordenadas, aunque sólo admitían coordenadas positivas. El principal logro de la
misma es la transformación mutua entre enunciados de tipo geométrico y enunciados de tipo algebraico.
Fermat, en su Introduction to Loci ,estudia ya algunas ecuaciones de primero y segundo grado, con lo que
consigue clasificar las rectas y algunas de las cónicas, siempre con la limitación que le imponía el no admitir
coordenadas negativas.
A principios del siglo XIX, con la construcción de la geometría proyectiva, se dio un fuerte avance a la
geometría analítica.
SISTEMAS DE REF. COORDENADAS
Un sistema de referencia en el plano esun par formado por un punto, llamado origen, y una base de vectores,
R = {O,
1,
2}.
Si la base es ortonormal, el sistema de referencia se dice ortonormal .

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Dado un sistema de referencia R = {O,
1,
2} y un punto P del plano, las coordenadas de P respecto a R son las coordenadas del vector
respecto a la base {
1,
2}

1

Si
=x
11 + y
2, lascoordenadas de P son x e y y se escribe P = ( x, y ) ó P( x, y ).
Vector que une dos puntos
Dados los puntos P(x0, y0) y Q(x1, y1), el vector que los une viene dado por la expresión
= ( x1 −x0 )
1 + ( y1 −y0 )
2.
Demostración:

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;
Por definición de coordenadas se tiene que

= x0
1 + y0
2

= x1
1 + y1
2
Como
+
=
, despejando:

=
−
= ( x1
1 + y1
2) − ( x0
1 + y0
2)=
= ( x1 −x0 )
1 + ( y1 −y0 )
2
Ejercicios de aplicación

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

2

Dado el sistema de referencia R = {O,
1,
2}, hallar las coordenadas de O
respecto de R.
Resolución:

=
= 0·
1 + 0·
2
El punto es O(0,0).
Sean los puntos P(3, −2) y Q(4, 1). Hallar las coordenadas del vector
.Resolución:

= (4 − 3)
1 + [1 − (−2)]
2 = 1·
1+3
2.
Las coordenadas son 1 y 3, (1, 3).
Hallar las coordenadas de un punto P tal que, al unirlo con Q(4, 8), resulta el vector
= −2
1+6
2.
Resolución:
Sean (x,y) las coordenadas de P.

=(4−x)
1+(8−y)
2 = −2
1+6
2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Sistema de referencia estándardel plano
3

Name=3; HotwordStyle=BookDefault; El sistema de referencia del plano más utilizado es {O,
1,
2}, donde:
· O es el origen de coordenadas, después de fijar los ejes de abscisas y ordenadas.
·
1 es el vector que tiene por origen el punto (0,0) y por extremo el (1,0).
·
2 es el vector que tiene por origen el punto (0,0) y por extremo el (0,1).
Además es un sistema de...