Geometria

Ejercicios resueltos de la Recta
*Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) *y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos
{draw:frame}
La ecuación de la recta se busca por medio de la siguiente expresión;
Y-Y1=m(X-X1)
* Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto dado.* Como conocemos el punto P(4,-1) podemoscalcular dicha recta, pero tambiénes necesario determinar el valor de la pendiente m, la cual calcularemos de la siguiente forma:
*m= Tg* *(135º); donde *m= -1
Sustituimos los valores en la expresión y obtenemos;
Y- (-1)= -1(X-4);
Y+1= -X+4;
Y *= * *-* *X* *-* *3*
En forma implícita
*X *+* *Y – 3 = 0
*Hallar la ecuación* de la recta que pasa por el punto (- 3. I)* *yes parale*la a la recta determinada por lo*s dos puntos (0, - 2) y (5, 2) . SOLUCION:
Como se conoce un punto de la recta requerida, solamente es necesario obtener su pendiente que, según sabemos, es la misma que la de la recta paralela L1 que pasa por los dos puntos (0. - 2). (5, 2)
La pendiente de L1 es, m=2-(-2)5-0= 45
La ecuación de la recta a utilizar
*Y- 1= **45 **(X+3*)4 x - 5 y + 1 7 = 0
Observa las siguientes ecuaciones: x **= –3 + 3t
y **= 2t
Comprobar que, dando a *t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que están* todos sobre una recta ¿Qué método está aplicando para trazar la recta?
Solución:
El método a aplicar es el de Tabulación.
Es por ello que tabulamos los valores dados de t y sustituyendo en las ecuacionesanteriores obtenemos las coordenadas de cada uno de ellos:
Ejemplo:
Para t=0
_x = –3 + 3(0)= -3 _
_y = 2(0)= 0 (-3, 0)_
Aplicando el mismo procedimiento para cada uno de los valores dados de t, obtenemos la siguiente información:
Graficamos los valores:
{draw:frame}
Por medio de la gráfica podemos demostrar que los puntos obtenidos si están todos sobre una misma recta.Halla la ecuación implícita de la recta: x **= 5 – 3t
y **= –1 + 2t
Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y las sumamos:
2_x = 10 – 6t_
3_y _= –3 + 6t
2_x + 3y _= 7
La ecuación implícita es: 2x+3y -7 = 0
*Hallar la ecuación* de la recta que pasa* por el siguiente par *de puntos * *(–7, 11), (1, 7) Solución:
Por medio de lospuntos dados buscamos el valor de la pendiente aplicando la formula correspondiente y obtenemos que:
m= -1/2
Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos, y obtenemos:
Tomamos el punto (1,7) y - 7=-1/2 (x-1) y-7 = -1/2x +1/2 y= -1/2x +15/2
en forma implícita tenemos: *x + *2y *–* 15* *=* *0
*Hallar dos puntos de la recta **y = –3**x+ 4 y *Calcula*r* a partir de ellos su pendiente, y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación. Solución:
Damos valores arbitrarios a x y obtenemos:
Si x = 0 → y = 4 → punto A_ _(0, 4)
Si x = 1 → y = 1 → punto B (1, 1)
Calculando la pendiente con los puntos calculados anteriormente se tiene que
m = –3
Efectivamente, podemos comprobar que la pendiente es la de la rectadada
y = –3x + 4.
*Hallar* la distancia de Q**(–*3, 4) a la siguiente recta*: 2x **+ 3y **= 4 Solución: Aplicando la ecuación de la distancia ya conocida obtenemos que;
(igualamos a cero la ecuación) 2_x + 3y _– 4 = 0 r
d**(Q**, r **) =* *(2*√*13)/13 ≈ 0,55
La distancia entre el punto Q (-3,4) y la ecuación llamada r, es de aproximadamente 0, 55.
EJERCICIOS PROPUESTOSEjercicios de la Recta
Dibujar la recta con ecuación y = 4/5X +3. Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y la pendiente de la recta que lo une al punto A(3,4) es 1/2. Determinar las coordenadas del punto.
Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados....