Geometria

Facultad de Ingenier´ Qu´
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ımica.
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Algebra Lineal
Tarea 3: Vectores
Ejercicio 1 Una ret´cula tridimensional es una colecci´n de combinaciones enteras de tres vectores
ı
o
b´sicos nocoplananares a, b, y c. En cristalograf´a, una ret´cula puede especificar las ubicaciones
a
ı
ı
de los ´tomos en un cristal. Los estudios de difracci´n de rayos X de cristales utilizan la “Ret´
a
oıcula
rec´proca”, la cual tiene los vectores base
ı
b×c
a · (b × c)
c×a
B=
b · (c×) a
a×b
C=
c · (a × b)
A=

1. La celda unitaria de la ret´cula rec´proca es el paralelep´pedo con lados A,B y C , en tanto que
ı
ı
ı
la celda unitaria de la ret´cula original es el paralelep´pedo con lados a, b y c. Demuestre que
ı
ı
el volumen de la celda unitaria de la ret´cula rec´proca es elrec´proco del volumen de la celda
ı
ı
ı
unitaria de la ret´cula original. [Sugerencia: Empiece con B × C , utilice que a × (b × c) =
ı
(a · c) b − (a · b) c y que a · (b × c) = (a × b) · c]
1
2.Cierta ret´cula tiene la base a = i, b = j , c = 2 (i + j + k ). Determine los vectores de la base
ı
de la ret´
ıcula rec´proca.
ı

Ejercicio 2 Hallar la ecuaci´n del plano perpendicular alsegmento A 3, 2, −7 y B 5, −4, 9
o
en su punto medio.
Ejercicio 3 Demostrar que los cuatro puntos 2, 1, 3 , 3, −5, −1 , −6, 7, −9 y −2, 4, −3
son coplanares.
Ejercicio 4 Encuentre la ecuaci´n delplano que pasa por el punto P 5, 2, −3 y es perpendio
cular a cada uno de los planos 2x − y + 2z − 9 = 0 y x + 3y − 5z + 3 = 0.
Ejercicio 5 Hallar la ecuaci´n del plano perpendicular al plano 3x − 2y+ 5z − 1 = 0 y que pasa
o
por los puntos 4, −2, 2 y 1, 1, 5
Ejercicio 6 Determinar el valor de k de tal manera que un plano de la familia 2x + ky − kz +7 = 0
sea perpendicular al plano 3x + 6y −12 = 0. Hallar la ecuaci´n del plano.
o
Ejercicio 7 Hallar las ecuaciones de la recta que resulta de las intersecci´n de los planos 3x −
o
2y + 4z − 9 = 0 y x + y − 2z + 5 = 0
Ejercicio 8...