geometria

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCION

Una función F es una antiderivada de una función f , si para todo x en el dominio de f
  F'(x) = f(x)
 Si F es una antiderivada de una función f en un intervalo I ,entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de la forma:
G ( x )= F ( x )+ C , para todo x en I ; donde C es una constante.
De tal forma que  se representa:
 
Figura 1 
EJEMPLO 1 Encuentre una antiderivada de la función en el intervalo 
Solución Buscamos una función F que satisfaga la igualdad,
 Para toda x real.
Por nuestras experiencias en derivación sabemosque
 Es una de tales funciones.
Si analizamos detenidamente podemos encontrar otras soluciones para el ejemplo,
La función  también satisface la igualdad ; por lo tanto, también es unaantiderivada de . De hecho,, donde C es cualquier constante, es una antiderivada de 4x3 en .
EJEMPLO 2 Encuentre la antiderivada general de en el intervalo 
Solución
 La función no lo hace puesto que suderivada es . Pero sugiere que , que satisface la igualdad . Pero la derivada general es .
EJEMPLO 3 Encuentre la antiderivada general de 
Solución

Observe que para antiderivar una potencia de x seaumenta 1 al exponente y se 
divide entre el nuevo exponente.

LA DERIVADA

* DEFINICIÓN CIENTÍFICA:
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, delcociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

* INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a serla recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)Ejemplo:
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto...