Geometria

Geometría Analítica
Sistema de Coordenadas.-
El sistema de coordenadas esta formado por dos rectas numéricas perpendiculares entre si cuyo punto de corte se llama origen, loas rectas se denominan ejes, al eje de las x se las denominan abscisas, al eje de las y se las llaman ordenadas. Estos ejes forman un plano cartesiano y forman cuatro cuadrantes que se enumera en sentido anti horarioDistancia entre dos puntos.-
Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobreel eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntoscorresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema dePitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)









d = 5 unidades


Pendiente de una recta.-
Angulo de inclinación de una recta.- se define al ángulo formado por el eje positivo de la x
Pendiente.- se define como la tangente de su ángulo de inclinación


Su formula es :
m=(y2-y1)/(x2-x1)
Grado de inclinación
Dada una recta, gráficamente supendiente nos da su grado de inclinación
Pendiente positiva

 
Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0
Pendiente negativa

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m < 0
Pendiente nula o cero

 Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresión analítica m = 0
 
Visualmente, también  podemos definir si la pendiente es positiva o negativa:
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.


Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente esnegativa y decrece al crecer el ángulo.

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
 
 Pendiente
Tipo de recta
positiva
recta ascendente
negativa
recta descendente
cero
recta horizontal
no definida
recta vertical
 

Angulo entre dos rectas.-
Se define el ANGULO entrel1 y l2 como 
el ángulo positivo obtenido al rotar larecta l2 hacia l1.
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
 b1 = q1 - q2 (1)

El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2)
,  (2)
 
También,
cot b1 = cot (q1 - q2)
,  (3)
 
Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3)podemos escribirlas en la forma:
tan b1,  (2)’
 
 
y cot b1,  (3)’
 
Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas
Paralelismo y Perpendicularidad.-
Con respecto a la pendiente es necesario conocer los...