geometria

UNIDAD 1. ELEMENTOS BÁSICOS


INTRODUCCIÓN

Geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada bajo sus tres formas: línea, superficie y volumen.

Para su estudio se admite la existencia de algunos objetos primitivos, dotados de ciertas propiedades, y se aceptan unas reglas de trabajo para manipularlos y obtener nuevas propiedades de ellos.

Laspropiedades admitidas como válidas son los axiomas y las que deben justificarse son los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser universales y se utilizan las de la lógica matemática.


AXIOMAS Y DEFINICIONES


AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO: Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas.Cada uno de estos conjuntos está formado por infinitos elementos llamados puntos.

Realmente el axioma de existencia no define ni el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un punto. El conjunto de todos los axiomas permitirá que estos objetos alcancen las propiedades que intuimos de ellos.

FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier subconjunto propio del espacio.

PUNTO INTERIOR (EXTERIOR): Si unpunto pertenece a una figura entonces es interior a ella, (está sobre la figura, o la figura pasa por el punto). En caso contrario es exterior a la figura.

PUNTOS COLINEALES (ALINEADOS): Dos o más puntos son colineales (alineados) si están en la misma recta. En caso contrario son no colineales o no alineados.

PUNTOS COPLANARES: Dos o más puntos son coplanares si están en el mismo plano.En caso contrario son no coplanares.

AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean A y B dos puntos distintos, entonces existe una y sólo una recta a la cual ambos pertenecen, llamada “la recta AB”, ().

AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean A, B y C, puntos no colineales, entonces existe uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen, llamado “el plano ABC”, (ABC).

AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTAEN EL PLANO: Si una recta L y un plano  tienen dos puntos distintos en común, entonces la recta L está contenida en el plano .

AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS: Si dos planos distintos tienen algún punto en común entonces su intersección es una recta.

ORDEN EN LA RECTA

Para establecer el axioma de ordenación de la recta es necesario definir primero que es un conjunto linealmenteordenado y la relación “estar entre”:

CONJUNTO LINEALMENTE ORDENADO: Es un conjunto entre cuyos elementos se puede establecer la relación “preceder a”, con las siguientes propiedades:

1. Dados dos elementos P y Q se cumple que “P precede a Q” ó “Q precede a P”.
2. Si “P precede a Q” y “Q precede a R” entonces “P precede a R”.

NOTA: La relación “preceder a” se puede cambiar por “seguirde”, “estar delante de” , “estar detrás de”, “estar antes de” “estar después de”.

RELACIÓN “ESTAR ENTRE”: Si P, Q y R son puntos alineados tales que “P precede a Q” y “Q precede a R”, entonces se dice que “Q está entre P y R” y se denota por “PQR” o “RQP”.

AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA:
Una recta es un conjunto linealmente ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y notiene puntos consecutivos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA: Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos conjuntos: el conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen y tales que:

1. Todo punto de la recta, distinto de él, pertenece a uno y sólo a uno de dichos conjuntos.
2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entredos puntos del mismo conjunto.

SEMIRRECTA: Si O es un punto de una recta L entonces se llama semirrecta de origen O al conjunto formado por el punto O y cada una de los conjuntos en que él divide a la recta, es decir:

1. O y todos los puntos de L que le preceden.
2. O y todos los puntos de L que le siguen.

Si O está entre A y B entonces las semirrectas obtenidas se llaman...