Geometria

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

Matemática básica 1

SEMESTRE:

Primero

CODIGO DE CURSO:

101

TIPO DE EXAMEN:

Segundo parcial

FECHA DE EXAMEN:

24 de marzo de 2011

NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIO EL EXAMEN:

José Francisco Sánchez Sánchez

NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIGITALIZO ELEXAMEN:

José Francisco Sánchez Sánchez

Segundo examen parcial Tema 1: (25 puntos) Dadas las funciones f ( x ) = 8 − x 2 y
g ( x) = 5 − x

(a) Determinar el dominio y rango de cada función. (b) Calcule ( f  g ) (x) (c) Determine si la función f es uno a uno, si no lo es, haga las restricciones necesarias para que lo sea (d) Encuentre f −1 ( x) , indique cual es su dominio y su rango. (e)Dibuje la representación gráfica de f y f −1 en un mismo sistema de coordenadas. Tema 2: (25 puntos) La figura muestra la representación gráfica de una función h( x) (a) Determine el dominio y rango de la función. (b) Grafique y = −h( x + 2) + 3 (c) Encuentre el valor de ( h  h)( x) (d) Encuentre el valor de h(0) Tema 3: (20 puntos) Una compañía de televisión por cable da servicio a 5,000 usuarios ycobra una tarifa de Q 20 por mes. Un estudio de mercado indica que por cada quetzal menos en la tarifa mensual, se suscribirán 500 nuevos clientes. Si I ( x ) representa el ingreso mensual de la compañía. (a) Construya una función que modele el ingreso I ( x ) (b) Determine el precio que debe tener el servicio para que el ingreso de la compañía sea máximo. (c) Calcule el ingreso máximo, Tema 4:(15 puntos) Construya una función polinomial de grado 4 que tenga como raíces x = 2 , x = −3 y x = 1 de multiplicidad 2. Además la gráfica del polinomio corta al eje y en 5. Dibuje la representación gráfica. Tema 5: (15 puntos) Para el polinomio p( x) = 2 x 4 + 5 x 3 −11x 2 − 20 x +12 (a) Liste los posibles ceros racionales. (b) Determine los ceros de la función.

SOLUCION DEL EXAMEN Tema 1: (25puntos) Dadas las funciones f(x) = 8 − x 2 y
g ( x) = 5 − x

(a) Determinar el dominio y rango de cada función.
f ( x) = 8 − x 2
g ( x) = 5 − x

D = Todos los reales R= (-∞,8] (b) Calcule ( f  g ) (x)

D= 5 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5 D=(-∞,5] R=(0, ∞)

( f  g ) (x) equivale a valuar la función g en x y luego sustituir esta función en la x de la función f, de esta forma:
( f  g )( x) = 8 − ( 5− x ) 2 = 8 − (5 − x) = 3 + x

(c) Determine si la función f es uno a uno, si no lo es, haga las restricciones necesarias para que lo sea De acuerdo a la prueba de la recta horizontal esta función no es uno a uno ya que la recta toca dos puntos de la función, para que esta función sea uno a uno se debe restringir al dominio D = [0, ∞) .

(d) Encuentre f
f ( x) = 8 − x 2 x = 8 −( f 8 −x =( f
−1

−1

( x ) , indique cual es su dominio y su rango.

)2 )2 )2

x − 8 = −( f

− 1

− 1

8 − x = f −1 D = ( −∞ 8] , R = [0, ∞)

(e) Dibuje la representación gráfica de f y f

− 1

en un mismo sistema de coordenadas.

Tema 2: (25 puntos) La figura muestra la representación gráfica de una función h( x) La función h(x) esta dada por: −x−4 para −5≤x ≤−4 h x =  x4 para −4≤x0x 2−1 para 0≤x≤2

{

(a)Determine el dominio y rango de la función. D= [-5,2] R= [-1,3] (b) Grafique y=−h  x+ 23 la grafica de esta función estará trasladada 2 espacios a la derecha 3 hacia arriba y reflejada sobre el eje “x”

(c) Encuentre el valor de  h°h −3 

 h°h −3  Equivale a valuar la función h en 3 y luego valuar la función h en el resultado de h(3) ya que h es unafunción dada por partes las funciones varías dependiendo de el intervalo que se esta trabajando.  hh −3 =h  h−3  h −3 = −34= 1=1 h  h−3 =h 1 h 1 =12 −1=0 (d) Encuentre el valor de h 0  h 0 =0 −1=−1 Tema 3: (20 puntos) Una compañía de televisión por cable da servicio a 5,000 usuarios y cobra una tarifa de Q 20 por mes. Un estudio de mercado indica que por cada quetzal...