Geometria

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ANÁLISIS DE FÓRMULAS DE PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES EN RELACIÓN CON LA INCIDENCIA DE LA VARIACIÓN DE LOS ELEMENTOS LINEALES Y VICEVERSA.
Antes de entrar al análisis de fórmulas referente al perímetro, área y volumen de figuras geométricas, repasemos estos temas y efectuemos ejercicios pertinentes Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de unpolígono. El perímetro corresponde a la suma de los lados del polígono.

Figura Geométrica Triángulo Cualquiera

Perímetro y Área

p=a+b+c

á=

base·altura c·h = 2 2

Triángulo Rectángulo p=a+b+c

á=

cateto·cateto a·b = 2 2

Triángulo Equilátero

p = 3a

á=

a2 3 4

Cuadrado

p = 4a 2 á=a

á=

d2 2

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Rectángulo

p = 2a + 2b á = lado · lado = a·bRombo p = 4a

á = base · altura = b · h

á=
Romboide

diagonal ·diagonal e· f = 2 2

p = 2a + 2b á=a·h

Trapecio p=a+b+c+d

á=

(base1 + base2)·altura (a + c)·h = 2 2
á = Mediana · altura = M · h

Trapezoide

p=a+b+c+d

á=á1+á2+á3+á4

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Circunferencia

p = 2π·r

Círculo

á = π·r

2

Sector Circular

p = 2r + AB = 2r +

2πrα 360

á=πr 2 ·α
360

Áreas Sombreadas (achuradas) Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas entre sí. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a sombrearla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Suma de áreas: Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto,hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.

Veamos el siguiente ejemplo: ABCD cuadrado de lado 4 cm.

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Esta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado. Primero, tendremos que calcular el 2 área del círculo. Como AB = 4 cm, entonces OC, radio del semi círculo, mide 2 cm. y su área es πr 2 2 2 /2 = 2π. Determinemos ahora el área del cuadrado, á = a = 4 = 16 cm . Sumando ambas áreas nos dará el área total sombreada, o sea 2π + 16 = 2(π + 8) Resta de áreas: Este tipo de ejercicios es el más común y son las que tienen unas figuras dentro de otras. En estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado. Por ejemplo: ABCD rectángulode lado AB = 12 cm. El área del rectángulo es AB · BC, BC mide lo mismo que el radio de la semi circunferencia, por lo 2 tanto el producto debe ser 12 cm · 6 cm = 72 cm . Ahora calculemos el área del semi círculo, o sea 2 πr / 2, lo cual resulta 18π. El área sombreada queda determinada por la resta entre el área mayor, que es la del rectángulo, y el área menor, que es el del semi círculo, o sea 72- 18π = 18(4 - π).

VOLUMEN

Cubo: Tiene 12 aristas. Área = 6a 3 V=a
2

Paralelepípedo:

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Área: 2(ab + ac + bc) Volumen: a·b·c

c a
Pirámide V=

b

base·altura 3

Cono: Se forma por la rotación de un triángulo rectángulo como lo indica la figura V = πr /3
2

Cilindro Se forma por la rotación de un rectángulo como lo indica la figura V = πr · h
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Esfera Se forma por la rotación de una semicircunferencia como lo indica la figura V=

4 πrr 3 3

Hasta aquí todo corresponde a contenidos que se suponen vistos y aprendidos para enfrentar los siguientes ejercicios de la P.S.U.

1. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. ¿Qué ocurre con el área y su perímetro? Consideremos un cuadrado de lado a, donde su perímetro es 4a ysu área a . Si su lado aumenta al doble, ahora medirá 2a. Aplicando las fórmulas de perímetro y área de este nuevo cuadrado obtenemos que su perímetro 2 es 8a y que su área es 4a . Por lo tanto, al comparar los perímetros, vemos que aumentó el doble (de 4a a 8a) y que el área 2 2 aumentó 4 veces, o sea se cuadruplicó (de a a 4a )
2

2. ¿En cuánto aumenta el área de un rectángulo de lados 12...