geometria

TEMA 6: LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán
1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 1
2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS ............................................................ 2
3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES................................................................ 3
4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS .................................................................. 5
5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS........................................................... 7
6. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................. 8

1. INTRODUCCIÓN
Dedicamos este tema al estudio de los polígonos más sencillos: los triángulos (polígonos detres lados). Estos polígonos son siempre convexos y son los polígonos básicos, ya que el
resto de polígonos se pueden formar componiendo triángulos y varias de las propiedades
que cumplen éstos se deducen utilizando otras ya establecidas en los triángulos.
Además, el triángulo es el único polígono rígido, es decir, que no se
deforma al presionar sobre sus vértices o sus lados, lo que tieneimportantes aplicaciones en la construcción de estructuras.
En este tema se establecerá la clasificación de estos polígonos y los
teoremas más importantes, aunque ya damos por sentado, puesto
que se ha probado en temas anteriores, que los alumnos conocen
dos teoremas importantes:
•

El ángulo exterior de cualquier triángulo es la suma de
los dos interiores no adyacentes (δ=α+β).

•

Lasuma de los ángulos interiores de cualquier
triángulo es un ángulo llano (180º ó π radianes)

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2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Es evidente que la forma de los triángulos varía según sean sus lados y sus ángulos y,
atendiendo a la relación de unos u otros surgen dos clasificaciones diferentes:
Atendiendo a sus lados:
•

Un triángulo con los tres lados iguales se denominatriángulo equilátero.

•

Un triángulo con dos lados iguales y el tercero desigual se denomina triángulo
isósceles.

•

Un triángulo con los tres lados desiguales se denomina triángulo escaleno.

Atendiendo a sus ángulos:
•

Un triángulo con los tres ángulos agudos (menor que un recto) se denomina
triángulo acutángulo.

•

Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulorectángulo.

•

Un triángulo con un ángulo obtuso (mayor que un recto) se denomina triángulo
obtusángulo.

Propiedades:
•

Un triángulo equilátero forzosamente es acutángulo y sus ángulos miden 60º

•

Un triángulo isósceles puede ser acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

•

Un triángulo escaleno forzosamente debe de tener los tres ángulos desiguales.

•

Un triángulo acutángulo puedeser equilátero, isósceles o escaleno.

•

Un triángulo rectángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno.

•

Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno.

Tarea 1: Dibuja en las casillas de la tabla siguiente, si es posible, ejemplos de triángulos
que cumplan con la condición de la fila y de la columna correspondiente, una vezconstruidos en el geoplano.
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Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Equilátero

Isósceles

Escaleno

Tarea 2: Descomponer la siguiente figura en
triángulos. ¿Cuál es el mínimo número de
triángulos necesarios?

3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES

•

Mediatriz de un lado es la recta perpendicular al lado por
su punto medio. Un triángulo cualquiera tiene tres
mediatrices que secortan en un punto común. Este
punto es el centro de una circunferencia circunscrita al
triángulo (pasa por los vértices) y se llama circuncentro.

•

Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que
divide al ángulo en dos ángulos iguales. Un
triángulo cualquiera tiene tres bisectrices que se
cortan en un punto común. Este punto es el
centro de una circunferencia inscrita al triángulo
(es...