Geometria

EJERCICIOS RESUELTOS - 3º E.S.O.
1
Calcula el valor de x en estos polígonos: a) b)
6m x 6m 6m 8 cm x 15 cm

FIGURAS PLANAS

c)

x 10 dm 24 dm

d)
x

8m

a) x = √62 – 32 = √27 ≈ 5,2 m
x 6m 3m

b) x = √82 + 152 = √289 = 17 cm

c)

x 12 dm

5 dm

x = √122 + 52 = √169 = 13 dm d) x = √82 + 82 = √128 ≈ 11,3 m

2
a)

Calcula x en cada caso: b)
9m 60° 60° x x 30° 12 cm60° x

c)

8m

d)
x 45° 6 cm

e)
x
12 dm

a)
2x 9m 60° 60° x

Como dos de sus ángulos miden 60°, el otro también medirá 60°. Como tiene los tres ángulos iguales, el triángulo es equilátero. Si medio lado mide x, el lado entero medirá 2x. (2x)2 = x 2 + 92 8 3x 2 = 81 8 x = √27 ≈ 5,2 m

b) El triángulo es la mitad de un triángulo equilátero. Por tanto, utilizando el mismo razonamientoque en el apartado a), el lado que no mide ni 12 cm ni x, es la mitad de 12 cm, es decir, 6 cm. Por tanto: x = √122 – 62 = √108 ≈ 10,4 cm c)
8m x 4m

Como es un hexágono, el radio es igual que el lado. Por eso: x = √82 – 42 = √48 ≈ 6,9 m

d) Como es un triángulo rectángulo con un ángulo de 45°, el otro tendrá que medir 45° también, por lo que sabemos que el triángulo es isósceles. Así: x =√62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm e) x 2 + x 2 = 122 8 2x 2 = 144 8 x = √72 ≈ 8,5 dm

3

En un triángulo rectángulo, los catetos miden 9 cm y 12 cm. En otro triángulo rectángulo, un cateto mide 14,4 cm, y la hipotenusa, 15 cm. ¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro? En el primer triángulo rectángulo, la hipotenusa mide: h = √92 + 122 = √225 = 15 cm. Por tanto: Perímetro = 15 + 9 + 12 = 36 cm En el otrotriángulo rectángulo, el cateto que falta mide: x = √152 – 14,42 = √17,64 = 4,2 cm. Por tanto: Perímetro = 4,2 + 15 + 14,4 = 33,6 cm El primer triángulo tiene mayor perímetro.

4

Calcula x en estos trapecios y halla su área:
x 5 cm 20 cm

cm

13 cm

12 cm

cm 10

10

x 24 cm

a)
5 cm

x

Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo:
13 cm 20 – x 20 cm

132 = 52 + (20– x)2 8 x 2 – 40x + 256 = 0 8 8 x = 32 cm, x = 8 cm

La solución x = 32 cm no tiene sentido, ya que x < 20. Por tanto, x = 8 cm. Así: A = (20 + 8) · 5 = 70 cm2 2 b)
cm 10
12 cm

x = √102 – 62 = √64 = 8 cm
10 cm
x

6 cm

24 cm

6 cm

Así: A = (24 + 12) · 8 = 144 cm2 2

5
a)

Halla el área de las figuras coloreadas.
cm

17 cm

b)
10

16 cm

c)

12 m 13 m 22 m Bd)

21 m 29 m 41 m

e)
A H

AC = 93 m BH = 52 m DK = 23 m K D C

f)
20 cm

8 cm 8 cm

a)
x

17 cm 8 cm

x = √172 – 82 = √225 = 15 d = 15 · 2 = 30 cm A = 30 · 16 = 240 cm2 2

b)
10

x

x 2 + x 2 = 102 8 2x 2 = 100 8 x = √50 ≈ 7,1 cm A = 7,12 = 50 cm2

c)

cm

x 12 m x 22 m 21 m x 29 m 13 m 5m

x = √132 – 52 = √144 = 12 m A = 20 + 12 · 12 = 192 m2 2

d)

20 m 41m

x = √292 – 202 = √441 = 21 m A = 21 + 41 · 21 = 651 m2 2

e) ATRIÁNGULO ABC = 93 · 52 = 2 418 m2 2 ATRIÁNGULO ACD = 93 · 23 = 1 069,5 m2 2 ATOTAL = 2 418 + 1 069,5 = 3 487,5 m2

f ) ACUADRADO = 20 · 20 = 400 cm2 ATRIÁNGULO = 12 · 20 = 120 cm2 2 APARTE COLOREADA = 400 – 2 · 120 = 160 cm2

6
a)
E

Calcula el área de las figuras coloreadas.
A F B G D
AD = AC = 17 m BG = 4,5 m

b)A

E F G B
BG = 8,4 m CD = 21 m

c)
D

10 cm

C
DC = 16 m EF = 3,2 m

C
AC = 28 m EF = 5,6 m

a) ATRIÁNGULO ADE = 17 · 3,2 = 27,2 m2 2 ATRIÁNGULO ACB = 17 · 4,5 = 38,25 m2 2

A
17 m 17 m

x = √172 – 82 = √225 = 15 m ATRIÁNGULO ADC = 16 · 15 = 120 m2 2 ATOTAL = 27,2 + 38,25 + 120 = 185,45 m2

x

D

8m C 16 m

— — — b) AD = √AC 2 + CD 2 = √1 225 = 35 m ATRIÁNGULO ADE =35 · 5,6 = 98 m2 2 ATRIÁNGULO ACD = 21 · 28 = 294 m2 2 ATRIÁNGULO ACB = 28 · 8,4 = 117,6 m2 2 ATOTAL = 98 + 294 + 117,6 = 509,6 m2

c) Como sabemos, el lado del hexágono es igual al radio de la circunferencia circunscrita a él. Por eso, del triángulo (que sabemos que es rectángulo) conocemos las siguientes medidas: hipotenusa = 2 · 10 = 20 cm un cateto = 10 cm 20 cm x x = √202 – 102 = √300...