Geometria

GEOMETRÍA ANALÍTICA.
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
La geometríaavanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de lageometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Línea recta
Si l es una recta no paralela al eje Y, y si P ¹ (X ¹, Y ¹) y P ² (X ², Y ²) son puntos diferentes en l, entonces la pendiente o inclinación M de l esta dada por
Y ²- X ¹
M = —————
X ²- X ¹
Si l es paralela al eje, entonces lapendiente no esta definida.
Al numerador Y ²-Y ¹ en la formula para M, en ocasiones se le llama desnivel de P ¹ a P ². Mide el cambio vertical de dirección al avanzar de P ¹ a P ², y puede ser positivo, negativo o cero. El denominador X ² - X ¹ se llama corrimiento de P ¹ a P ². Mide el cambio de dirección horizontal al recorrer de P ¹ a P ². El corrimiento puede ser positivo o negativo, pero nuncacero, porque l no es paralela al eje Y. usando esta terminología,
Desnivel de P ¹ a P ².
Pendiente de l = ————————————
Corrimiento de P ¹ a P ².
Cuando se determina la pendiente o inclinación de una recta l es irrelevante cual punto se denominara P ¹, y cual, P ²,
Y ²- Y ¹ Y ¹ - Y ²
————— = ——————
X ²- X ¹ X ¹ - X ²
En consecuencia, puede suponerse que los puntos se denominan de modo queX ¹ < X ², en este caso, X ²- X ¹ > 0, y por consiguiente, la pendiente es positiva, negativa o cero, dependiendo de si Y ² > Y ¹, Y ² < Y ¹ o bien Y ² = Y ¹. La pendiente de la recta mostrada en la grafica (i) es positiva, en tanto es negativa la pendiente de la recta mostrada en (ii) de la grafica.
Una recta horizontal es una recta paralela al eje X. obsérvese que la recta eshorizontal si y solo si su inclinación vale 0. Una recta vertical es un recta paralela al eje Y. la inclinación de una recta vertical es indefinida.

La parábola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equilibrantes de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija l denominada directriz situados en el plano.
Ejemplo.
Hallar el foco y la directriz de la parábola quetiene por ecuación Y ² = - 6X y trazar su grafica.

En consecuencia el foco y la ecuación de la directriz están dados por F (³/², 0) y X = ³/², respectivamente.
La elipse
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano (los focos) es constante.
Ejemplo.
Representar la siguiente ecuación gráficamente. 4X ² + 18Y ² =36
Para obtener la forma canónica del teorema tenemos que dividir ambos lados de la ecuación dada entre 36 y simplificar. Se obtiene así:
X ² Y ²
¯¯¯ + ¯¯¯ = 1
9 2
La cual esta en la forma citada con a ² = 9 y b = 2. Así, a = 3, b = V¯²¯; por consiguiente, los extremos del eje mayor son (± 3, 0) y los del eje menor (0, ±V¯² ¯
Como c ² = a ² - b ² = 9 - 2 = 7 o bien V¯7¯.

La hipérbole
Ladefinición de la hipérbole es similar a la de la elipse. La única diferencia es que en lugar de considerar la suma de las distancias a dos puntos fijos, se toma la diferencia.
Una hipérbole es el Conjunto de todos los puntos en un punto plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es una constante positiva.
Ejemplo.

Analizar y trazar la...