Geometria

7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA

PA R A

E M P E Z A R

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ¿Indica razonadamente la medida de los ángulos C, D, E y F de la figura. Como los ángulos de un triángulo suman 180 , tenemos que:
B 60º

ˆ C

180

ˆ (A

ˆ B)

180

110

70

Como los ángulos opuestos por el vértice son iguales, se verifica que: Fˆ
C

^ E ^ D

^ F

A

50º

ˆ A

50

Como losángulos de lados paralelos son iguales, se cumple que: ˆ D ˆ B ˆ 60 y E ˆ C 70

2

Utiliza la calculadora para hallar la medida en grados, minutos y segundos de cada uno de los ángulos que resultan al dividir un círculo en: a) 7 partes iguales a) 360 : 7 51 25 43 b) 13 partes iguales b) 360 : 13 27 41 32

3

En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 10 centímetros. Calcula lamedida de los catetos y de los ángulos agudos. Para obtener la medida de los catetos aplicamos el teorema de Pitágoras: 102 x2 x2 ⇒ 100 2x2 ⇒ x 50 7,07 cm

B x A 10 cm

Los dos ángulos agudos de un triángulo isósceles son iguales, para obtener su medida utilizamos el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 .

x

C

ˆ C

ˆ B

180 2

ˆ A

180 2

90

454

La maqueta de LEGO del estadio Allianz Arena está construida a escala 1 : 50, es decir, un metro de la maqueta equivale a 50 metros del estadio real. Observa las dimensiones reales y calcula cuánto mide el de la maqueta. Largo del terreno de juego en la maqueta: 105 : 50 Ancho del terreno de juego en la maqueta: 68 : 50 2,1 m 1,36 m

105 m

4

68 m

Teorema de Tales
PA R A P R A CT I C A R

Ejercicio resuelto 7.1 Divide un segmento de 6,4 centímetros de longitud en tres partes iguales.

C3 C2 C1

A

D1 6,4 cm

D2

B

Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan tres segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 y C3. Se une C3 con B y se trazan paralelasal segmento BC3 por C2 y C1, que cortan el segmento AB en D2 y D1. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2 y D2B son iguales.

7.2 Divide un segmento de 10 centímetros de longitud en siete partes iguales.
C7 C6 C5 C4 C3 C2 C1 A D1 D2 D3 10 cm D4 D5 D6 B

Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la quese llevan siete segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 , C3, C4, C5, C6 y C7. Se une C7 con B y se trazan paralelas al segmento BC7 por C6, C5, C4 , C3, C2 y C1, que cortan el segmento AB en D6, D5, D4 , D3, D2 y D1, respectivamente. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2, D2D3, D3D4, D4D5, D5D6 y D6B son iguales.

7.3 Divide un segmento de 6centímetros de longitud en nueve partes iguales. Si se procede de un modo similar al de las dos actividades anteriores obtenemos:

C1 A D1

C2 D2 D3

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

D4 D5 6 cm

D6

D7

D8

B

5

7.4 a) Dibuja un triángulo ABC cuyos lados midan 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente. b) Con ayuda del teorema de Tales, construye dos triángulos semejantes a ABC derazón 2 y a) Con ayuda de la regla graduada y el compás trazamos el triángulo ABC pedido.
1) A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 . 4

2) B C
5 6 7 8 9 10 11 12

3)

B
0 1 2 3 4

A
0 1 2 3 4

C
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

B B 6) 9 cm

A
0 1 2 3 4

C
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4)

5)

B 12 cm

B
0 1 2 3 4

C
5 6 7 8 9 10 11 12

A
0 1 2 3 4C
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A

15 cm

C

b) Para construir el triángulo AMN semejante a ABC de razón 2, prolongamos dos de los lados del triángulo ABC y con un compás llevamos sobre ellos la medida de los lados.

1)

M

2)

M

B

A

C

N

A

18

cm

24

cm

B

C 30 cm

N

1 nos ayudamos de una recta auxiliar sobre la que llevamos cuatro 4...