Geometria

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Algunas propiedades globales de las curvas planas. Teorema de la Curva de Jordan Area del Interior de una Curva Simple Cerrada c

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Desigualdad Isoperimetrica.
Br. Eleiny Acosta.
Br. Hern´ndez Ricardo
a
Br. S´nchez Luis.
a
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

Junio de 2012.

Br. Eleiny Acosta. Br. Hern´ndez Ricardo Br. S´nchez Luis.
a
a
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Area: Geometr´ Diferencial.ıa

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

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Algunas propiedades globales de las curvas planas. Teorema de la Curva de Jordan Area del Interior de una Curva Simple Cerrada c

Preliminares
Algunas propiedades globales de las curvas planas.
En lo que sigue, salvo que se hagan consideraciones para la
diferenciabilidad, una funci´n diferenciable en un intervalo cerrado
o
[a, b] es la restricci´n de una funci´n diferenciable en un intervalo
o
o
abierto I que contiene a [a, b ].
As´ f : [a, b ] → R es diferenciable en [a, b ] si y solo s´ existe una
ı,
ı
funci´n g : I → R diferenciable tal que f = g |[a,b] o f(x ) = g(x )
o
∀x ∈ [a, b ] ⊂ I.
An´logamente, se procede con las parametrizaciones de curvas
a
dadas por σ : [a, b ] → R2 .

Br. Eleiny Acosta. Br.Hern´ndez Ricardo Br. S´nchez Luis.
a
a
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Area: Geometr´ Diferencial.
ıa

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

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Algunas propiedades globales de las curvas planas. Teorema de la Curva de Jordan Area del Interior de una Curva Simple Cerrada c

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DEFINICION
Una curva plana cerrada es una curva diferenciable parametrizada
regular σ : [a, b ] → R2 tal que σ y todas susderivadas coinciden en
a y b; esto es, σ es de clase Ck (k 2) en [a, b ] y ocurre:

σ(a) = σ(b) , σ ′ (a) = σ ′ (b) , σ ′′ (a) = σ ′′ (b) , ..., σ (m) (a) = σ (m) (b) , ..., m

Br. Eleiny Acosta. Br. Hern´ndez Ricardo Br. S´nchez Luis.
a
a
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Area: Geometr´ Diferencial.
ıa

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Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

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Algunas propiedades globales de las curvas planas. Teorema dela Curva de Jordan Area del Interior de una Curva Simple Cerrada c

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DEFINICION
Una curva plana cerrada es una curva diferenciable parametrizada
regular σ : [a, b ] → R2 tal que σ y todas sus derivadas coinciden en
a y b; esto es, σ es de clase Ck (k 2) en [a, b ] y ocurre:

σ(a) = σ(b) , σ ′ (a) = σ ′ (b) , σ ′′ (a) = σ ′′ (b) , ..., σ (m) (a) = σ (m) (b) , ..., m

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Observaci´n
oAlgunos autores escriben, σ es de clase C∞ en [a, b ] y ocurre:
σ(a) = σ(b) , σ ′ (a) = σ ′ (b) , σ ′′ (a) = σ ′′ (b) , ..., σ (m) (a) = σ (m) (b) , ...

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a
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Area: Geometr´ Diferencial.
ıa

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Algunas propiedades globales de las curvas planas. Teorema de la Curva de JordanArea del Interior de una Curva Simple Cerrada c

Ejemplo
Sea σ : [0, 2π ] → R2 dada por:
σ(t ) = (2 cos(t ), 3 sen(t )).
ver figura

Claramente σ admite derivada de todos los ordenes y continuas en
[0, 2π ], de donde:
σ(t ) = (2 cos(t ), 3 sin(t ))
⇒ σ(0) = (2, 0) = σ(2π)
σ ′ (t ) = (−2 sin(t ), 3 cos(t ))
⇒ σ ′ (0) = (0, 3) = σ ′ (2π)
σ ′′ (t ) = (−2 cos(t ), −3 sin(t )) ⇒ σ ′′ (0) =(−2, 0) = σ ′′ (2π)
σ ′′′ (t ) = (2 sin(t ), −3 cos(t ))
⇒ σ ′′′ (0) = (0, 3) = σ ′′′ (2π)
σ iv (t ) = (2 cos(t ), 3 sin(t ))
⇒ σ iv (0) = (2, 0) = σ iv (2π)
Br. Eleiny Acosta. Br. Hern´ndez Ricardo Br. S´nchez Luis.
a
a
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Area: Geometr´ Diferencial.
ıa

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

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Algunas propiedades globales de las curvas planas. Teorema de la Curva de JordanArea del Interior de una Curva Simple Cerrada c

As´ sucesivamente:
ı
◦ Para m par ⇒ σ m (0) = (±2, 0) = σ m (2π)

◦ Para m impar ⇒ σ m (0) = (0, ±3) = σ m (2π)
σ parametriza a la elipse E centrada en ⊘ con longitud de los ejes:
a=3yb=2
Y como σ(0) = σ(2π) tenemos que C = E es cerrada.
Adem´s, σ ′ (t ) = (−2 sen(t ), 3 cos(t )) = 0 ∀t ∈ [0, 2π ].
a
∴ σ es regular en [0, 2π ] y puede...