geometria

ECUACION DE LA ELIPSE.

*ELIPSE.
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La Elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, talas que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría–con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

*ELEMENTOS DE LA ELIPSE.
*Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de lasdistancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

Donde  es la medida del semiejemayor de la elipse.
*Ejes de una elipse
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
*Directrices de la elipse.
Larecta dD es una de las 2 directrices de la elipse.
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:


La relación entre estas dos distancias es laexcentricidad  de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.
Además de la bien conocida relación, también es cierto que  , también es útil la fórmula  .
Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia delcentro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.

*ECUACION DE LA ELIPSE CON EJEMPLOS.
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operacionesllegamos a:



Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad



Ecuación reducida de eje vertical de la elipse



Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Lascoordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.








Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:





Al quitardenominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).





Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

















ECUACION DE LA HIPERBOLA

Ecuación de la hipérbola...