GEOMETRIA

INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA
GEOMETRÍA

UNIDAD 1
Actividades para pensar la Geometría Euclidiana Plana

2009

Instituto de Profesores “Artigas”

Geometría – Unidad 1

1 – ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Si consideramos dos rectas a y b cortadas por una tercera recta t se determinan ocho ángulos.
Los nombraremos:

internos: 3, 4, 5, 6
externos: 1, 2, 7, 8alternos internos: 3 y 5, 4 y 6
alternos externos: 1 y 7, 2 y 8
correspondientes: 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7
conjugados internos: 4 y 5, 3 y 6
conjugados externos: 1 y 8, 2 y 7

¿Cómo deben ser las rectas a y b para que los ángulos alternos internos (por ej. 3 y 5) sean de igual medida?
Aceptaremos que:
Axioma: Si las rectas a y b son paralelas, entonces los ángulos alternos internos soniguales.

Si a // b
y además α y β son alternos internos

⇒

α=β

y su recíproco...
Axioma: Si los ángulos alternos internos son iguales, entonces las rectas son paralelas.

α y β son alternos internos
y además α = β

⇒

a // b

Cuando las rectas a y b son paralelas ¿qué puedes afirmar acerca de los ángulos alternos externos? ¿Y de los
ángulos correspondientes?
Y si losángulos alternos externos son iguales, ¿qué puedes decir de las rectas a y b? ¿Y si los que son iguales
son los ángulos correspondientes?
A partir de lo anterior formula una expresión más general para cada uno de los axiomas anteriores.
Cuando las rectas a y b son paralelas, ¿qué puedes decir acerca de los ángulos conjugados internos?
¿Cómo formularías la proposición recíproca a la anterior? ¿Esválida? ¿En qué te basas?
Son ciertas las afirmaciones análogas a las anteriores sustituyendo ángulos conjugados internos por ángulos
conjugados externos?
¿Es constante la suma de dos ángulos interiores de un triángulo? ¿Cómo fundamentarías tu respuesta?
¿Qué se puede afirmar acerca de la suma de ángulos de un triángulo? ¿Cómo lo justificarías?
¿Ocurre lo mismo con un “triángulo” trazado sobre unaesfera? Sug.: ver el ejemplo del ecuador con dos
meridianos.
Propiedad: Suma de ángulos interiores de un triángulo
Hipótesis) (ABC) cualquiera
Demostración:

2009

Tesis)

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Ficha 1

Instituto de Profesores “Artigas”

Geometría – Unidad 1

¿Es constante la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero?

Piense un número de tres cifras: _ _ _.
¿Es constante la suma delos ángulos interiores de un polígono convexo de _ _ _ lados? En caso afirmativo
¿Cuánto vale la suma de dichos ángulos?
¿Y si el polígono no es convexo?

Angulo externo: ángulo cuyos lados son un lado del triángulo y la prolongación de otro.

¿Hay alguna relación entre un ángulo externo a un triángulo y sus ángulos interiores?

i) ¿Es constante la suma de los ángulos externos de untriángulo?

ii) ¿Hay alguna relación entre el número de lados de un polígono convexo y la suma de sus ángulos externos?
iii) ¿Y si el polígono no es convexo?

Si usamos un solo tipo de polígono regular (con lados iguales y ángulos iguales) por vez y los vértices de los
polígonos deben coincidir, ¿Qué polígonos regulares pueden ser usados para embaldosar una superficie plana
ilimitada?
¿No esredundante la definición de polígono regular?:
Si un polígono tiene sus lados iguales, ¿no implica esto que tenga sus ángulos iguales?
O también, si un polígono tiene sus ángulos iguales, ¿no implica esto que tenga sus lados iguales?
2009

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Ficha 1

Instituto de Profesores “Artigas”

Geometría – Unidad 1

PROBLEMAS – REPARTIDO 1
1.-

¿Cómo explicaría que los ángulos opuestos por elvértice son iguales?

2.-

Siendo a // b, hallar x:
i)

ii)

3.-

Sabiendo que a // b, hallar x en función de α:

4.-

Siendo a // b:
i) hallar α y β si α = 3β

5.-

ii) hallar α y β si β = 2α iii) hallar α + β - γ

Hallar x en cada caso sabiendo que a // b:
i)

6.-

Trace las bisectrices de aOc y bOc.
¿Qué puede decir de dichas bisectrices?
¿Cómo explicaría lo que...