geometria

Demostración: 

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide elcateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. 
El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de laizquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): 
 
más el áreadel cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área delcuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

2-



Prueba que el área del cuadrado NMBC es igual a lasuma de las áreas de los cuadrados ABPQ y CAED. 
Para ello, trazamos por A una perpendicular a CB hasta que corte a NM en A´ y que divide al cuadrado NMBC en dos rectángulos A´MBA´´ y NA´A´´C. Acontinuación unimos A con M y C con P. 
Los triángulos MBA y CBP son iguales pues tienen el mismo ángulo B = 90 + t e iguales los lados que lo determina(BP = AB y BM = BC) 
Se verifica:
[Área triánguloMBA] = 1/2 MB.MA´ = 1/2 (MB.MA´) = 
= 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]
Por otra parte:
[Área triángulo CBP] = 1/2 BP.QP = 1/2 (BP.QP) = 
= 1/2 [Área cuadrado BPQA]

Por tanto:
[Área triángulo MBA]= [Área triángulo BPC] = 
= 1/2 [Área cuadrado BPQA] = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]
Es decir el cuadrado BPQA y el rectángulo A´MBA´´ son equivalentes. Análogamente demuestra que el rectánguloNA´A´´C es equivalente al cuadrado CAED
3-

Tracemos por A una perpendicular a AC y sobre ella tomamos AD igual a AB. Unamos D con C.
Como DA = AB = c también lo serán sus cuadrados, es decir...