Geometria

Ecuacion de segundo grado.
Deficinicion:
Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita.
Ecuacion general de segundo grado:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0.

En particular, consideraremos el caso en que la ecuacion (1) contieneun término en xy , es decir, el caso en que B z 0. Demostraremos
que por medio de una mtaci6n de 10s ejes coordenados siempre es posible
transformar la ecuaci6n ( 1 ) en otra de la forma.

A’x’2 + C’y’2 + D’x’ + E’y’ + F’ = 0

En la que uno de los coeficientes A’ y C’, por lo menos, es diferente
de cero , y no aparece el termino en x’ y .

Clasificación.

La ecuación de segundogrado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene la forma canónica:

Donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

Ya sea positivo,cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.
2.- Incompleta pura: Es de la forma:

Donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y ctienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

Con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0
3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

Donde los valores de a y de b son distintos decero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números imaginarios.
Solución general de la ecuación de segundo grado.
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
,
Donde el símbolo "±" indica que los dosvalores
| Y | |
Son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.
Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

Podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
2. Unasolución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

Deduccion de la fomula general.

Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raícesde una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.
Sea dada la ecuación:

Donde para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.
Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

Paracompletar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación:

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:

Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:

Extraemos raíz cuadrada en...