geometria

Geometria
La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.
Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema deposicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). Tabla de contenidos [ocultar]
1 Historia de la Geometría

2 Axiomas, definiciones y teoremas2.1 Axiomas

2.2 Definiciones

2.3 Teoremas

3 Las figuras geométricas y las construcciones

4 Tipos de geometría

5 Métodos analíticos de estudio de las geometrías

6 Véase también

7 Enlaces externos
Historia de la Geometría
La geometría clásica se encargaba de estudiar construcciones utilizando regla y compás. Posteriormente y dado que, toda construcción es repetición decinco operaciones básicas sobre los mismos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos.
La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tantotridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.
La barrera entre el álgebra y la geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen, en el cual se define a la geometría como el estudio de las invariantes de un conjunto mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie depropiedades invariantes.
Actualmente resulta difícil establecer una distinción precisa entre la geometría y el análisis, aunque en cualquier caso son fundamentales las aportaciones del álgebra y la topología.
Como gran representante tómese a la topología geométrica, una ciencia donde sus objetos, métodos y propiedades utilizan y desarrollan construcciones muy importantes, como el Polinomio deJones, —sofisticada construcción relacionada a los nudos en 3-variedades— que muestra muchas misteriosas conexiones de esta (topología de dimensiones bajas) con la física moderna. Otro buen ejemplo es la teoría de Blow Ups de la geometría algebraica.
Axiomas, definiciones y teoremas
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en elque no se cometan errores, para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.
Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta lo siguiente: las definiciones, axiomas yteoremas no pretenden (o no solo pretenden) describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelo).
Esto significa que en adelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto,recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo “tradicional”.
Por ejemplo,...