Geometria

ECUACI�N DE UNA RECTA.
Una l�nea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una �nica direcci�n.
Uno de los postulados de la geometr�a Euclidiana dice "para determinar una recta solo es necesario dos puntos del plano.


El nombre que recibe la expresi�n algebraica (funci�n) que determine a una recta dada se denomina Ecuaci�n de la Recta.

Ecuaci�n principal de unarecta.



Se llama ecuaci�n principal de una recta a una expresi�n de forma:
Y= mx +n
En que m representa la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posici�n y es el n�mero en que la recta corta al eje de las coordenadas.

Comentario!
Hasta ahora se ha trabajado con la ecuaci�n lineal en dos variables buscando algunas de sus soluciones, trazando su gr�fica, buscando losinterceptos, buscando la pendiente.
Cabe preguntarse por el proceso inverso: si me dan las soluciones, si me dan la gr�fica, si me dan los interceptos, si me dan la pendiente; � se podr� conseguir la ecuaci�n lineal ?
Esto significa que se te dar� informaci�n para tu conseguir la ecuaci�n y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas.

EJEMPLO 1 - Hallar la ecuaci�n de la recta que tienependiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tienes que hallar la ecuaci�n de la recta, esto es, y = mx + b.
Usa la informaci�n que te dan:
m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuaci�n
y = 3x + 10.
La ecuaci�n que te pide el ejercicio es y = 3x + 10.

EJEMPLO 2 - Hallar la ecuaci�n de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.
Tienes que hallar la ecuaci�n de la recta, esto es, y = mx+ b.
Usa la informaci�n que te dan: m = - 5 y sustituye en la ecuaci�n:
y = - 5x + b
Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una soluci�n de la ecuaci�n que estas buscando. Sustituye esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuaci�n que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b
Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b
2 = - 5 + b
2+ 5 = b
b = 7
Sustituye el valor de b en la ecuaci�n que estas buscando: y = - 5x + 7
La ecuaci�n es y = - 5x + 7.
Debes conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
Las rectas perpendiculares tienen pendientes rec�procas y opuestas .
Ejemplo:
Si una recta tiene pendiente m = - 3 y es paralela a otra, entonces esa otra tambi�n tiene pendiente m = - 3.Si una recta tiene pendiente m = - 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente .

S� en una ecuaci�n de esta forma: ax + by + c = 0, damos valores a x e y que cumplan la ecuaci�n, y representamos estos puntos en una gr�fica, veremos que la gr�fica es una recta.
Si despejamos la 'y', la ecuaci�n se convierte en: y = mx + n, m representa la pendiente de la recta (la pendientees el cociente entre lo que sube o baja entre dos puntos de la recta y la distancia horizontal entre ellos, dicho matem�ticamente es la tangente del �ngulo que forma la recta con otra recta horizontal) y n es el punto del eje y por donde pasa la recta.
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.
Es muy frecuenteencontrar f�rmulas para hallar la ecuaci�n de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuaci�n de la recta que pasa por dos puntos. Tengo una buena noticia para los que tienen mala memoria: NO SON NECESARIAS.
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1,3), s�lo tenemos que sustituir estos valores en la ecuaci�ngeneral y nos quedar�a: 3 = 2�1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuaci�n de esa recta ser�: y = 2x + 1.
Como se ve es muy f�cil. A algunos profesores tambi�n les parece muy f�cil y para hacerlo m�s dif�cil en vez de decir la pendiente dicen el �ngulo que forma la recta con el eje x o con la horizontal. Es igual de f�cil, la pendiente es la tangente de ese �ngulo. Otros...