Geometria

APUNTE N°3 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
Poliedros y Cuerpos Redondos.

INTRODUCCION:

A Arquímedes se le considera generalmente como el más grande los matemáticos de la antigüedad y como uno de los tres o cuatro más grandes de todos los tiempos. Fue el primero en determinar el volumen de una región esférica. Hizo un calculo muy aproximado de . Los métodos que desarrolló para resolver problemasreferentes a áreas y volúmenes lo colocaron muchos siglos por delante de su tiempo. Podía calcular el área de regiones limitadas por curvas muy complicas y sus logros en este tipo de geometría no pudieron igualarse en mil ochocientos años. El próximo paso importante de avance en el cálculo de áreas y volúmenes fue el descubrimiento del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz, en el siglo XVII.A diferencia de la mayoría de los matemáticos griegos, Arquímedes se interesó en las aplicaciones de la matemática. Dice una leyenda que cuando los romanos atacaban su ciudad natal de Siracusa, en Sicilia, él jugó un papel importante en la defensa de la ciudad, aterrorizando a los invasores con armas que él mismo inventaba. Se dice que bombardeó los barcos romanos con grandes piedras, lanzadascon catapultas más grandes que jamás se habían visto. También, se dice que incendió la flota romana, utilizando espejos para concentrar los rayos del Sol sobre los barcos. Al convertirse el ataque en sitio, Arquímedes no pude servir más de ayuda y volvió a su estudio y a sus trabajos de matemáticas.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO


Cuando las caras son polígonos regulares iguales, el poliedro es regular.Sólo existen cinco poliedros regulares:



Caras
Vértices
Aristas
Tetraedro
4 triángulos
4
6
Octaedro
8 triángulos
6
12
Hexaedro
6 cuadrados
8
12
Dodecaedro
12 pentágonos.
20
30
Icosaedro
20 triángulos
12
30



Teorema de Euler. En cualquier poliedro convexo se cumple: Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

La suma de los ángulos de las caras de un poliedro es menos que 4 rectos.Dado el triedro VABC, prolongamos a arista VC y formamos otro triedro VBAC`. Como un ángulo de una cara de un triedro es menor que la suma de los ángulos otras dos caras.

Suma de los diedros de un poliedro. La suma de los diedros de un poliedro está comprendida entre 2 y 6 rectos (R).

Poliedros irregulares: Pirámide, Prisma


ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS PRINCIPALES




Cubo

a = arista
d =diagonal




Paralelepípedo

Área(A) = 2 ( ab + ac + bc )
Volumen =












Cilindro Recto:
La figura engendrada al rotar un rectángulo en torno a una de sus lados.
El manto del cilindro es la generatriz (g) o superficie engendrada por lado que gira el rectángulo.


Área Total




Cono Recto

Área Manto =
Área Total =
Volumen =




Esfera

Área =
Volumen =

EJERCICIOSPROPUESTOS

1. Un prisma recto tiene una arista lateral de longitud 3 y el perímetro de su base es 34. ¿Cuál es el área de su superficie lateral?.

2. Determinar la altura de un prisma recto para el cual el área de la superficie lateral es 143 y el perímetro de la base es 13.

3. Las bases del prisma representado por la fig. 1 son triángulos equiláteros y sus caras laterales son regionesrectangulares. Si se sabe que la longitud de una arista de la base es 6 y la altura del prisma es 10, calcular el área de la superficie total del prisma.


Fig. 1
Fig. 2

4. ¿Cuál es el área de la superficie lateral de un cubo con arista de longitud 5? ¿Cuál es el área de la superficie total?

5. Las aristas de una sección transversal de un prisma triangular tienen longitudes 3, 6 y 3. ¿Cuáles son laslongitudes de las aristas de otra sección transversal? ¿Qué figura geométrica es? ¿Cuáles son las medidas de sus ángulos?. Calcular el área de una sección transversal del prisma.

6. La longitud de la diagonal de un cubo es 16. Determinar el área de su superficie total.

7. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 4, 7 y 12. Calcular el área de su superficie total.

8. Las...