Geometria

¿QUÉ ES GEOMETRÍA?

Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).

Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como elcompás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica,topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

ASPECTOS HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA

La geometría euclídea representa la base de la geometría que, en nuestra opinión, debe ser contemplada en una educación obligatoria de carácter elemental. Elaborada por Euclides en el siglo III a. C., representa una aportación grandiosa del antiguopensamiento griego a la cultura de la humanidad

Otros desarrollos posteriores de la geometría, más apropiados para niveles educativos más elevados son: la geometría analítica, la geometría diferencial, la geometría descriptiva, la geometría proyectiva, la geometría topológica, etc.

El saber geométrico es el conocimiento de las propiedades del espacio geométrico. Desde el punto de vista educativo esimportante diferenciarlo del conocimiento de las propiedades del espacio físico.

El espacio geométrico se constituye como una modelización del espacio físico; nos permite comprender o prever ciertos fenómenos del espacio físico, pero no coincide con él.

Las figuras que manejamos en geometría no existen en la realidad, son idealizaciones de objetos de la realidad material. No existe, porejemplo, la línea recta ideal, pues cualquier línea recta material mirada al microscopio resultaría curva; no existe el punto ideal, carente de dimensiones; no existe la superficie ideal, carente de grosor...

Aunque las figuras ideales no existen, se pueden estudiar con ayuda de sus representaciones materiales. Desde los griegos, la regla y el compás contribuyeron a materializar las ideasgeométricas. Las construcciones que se realizan con estos instrumentos ayudan a comprender mejor las propiedades geométricas.

Pero la validación de los teoremas geométricos no se hace recurriendo al dibujo, sino de forma lógica, mediante razonamientos lógicos. Los dibujos ayudan a establecer relaciones lógicas entre las figuras. No sustituyen, sino que auxilian, al razonamiento lógico. La geometría, apartir de la antigua geometría griega, se ha desarrollado como un sistema deductivo, construido a partir de axiomas, cuya validez se obtiene por procedimientos lógicos.

ENFOQUE SINTÉTICO DE LA GEOMETRÍA

Al estudiante de primero de bachillerato, por ejemplo, se le presenta una serie de problemas geométricos, tales como obtener la mediatriz de un segmento, la paralela o perpendicular a unarecta pasando por un punto, las medianas, alturas o bisectrices de un triángulo, demostrar determinadas propiedades, etc., que se resuelven de modo totalmente diferente en la clase de Dibujo Técnico y en la de Matemáticas. En la primera el objeto buscado se construye y en la segunda se determina su ecuación. Para el alumno con un poco de curiosidad es natural plantearse si realmente obtiene lo mismocon ambas estrategias y si es posible la resolución analítica del problema siguiendo los pasos del algoritmo de la geometría sintética. Tal vez en algún caso se pueda sentir tentado de ponerle ecuaciones a los objetos geométricos y trabajar con estas ecuaciones en paralelo, de tal suerte que la geometría analítica le proporcione demostraciones sencillas de los resultados. Por ejemplo, en...