geometria

ELIPSE
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.
La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse A A' y la mediatriz de los mismos eje secundario P P'.
Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes A ,A',B,B'
El puntomedio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal .
Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal , respectivamente.
Cálculo del eje secundario
Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Llamando 2b al eje secundario, P al vértice superior, O al centro yF y F ' a los focos de la elipse, por el teorema de Pitágoras:


Por definición de elipse,




A la distancia b se le llama semieje secundario.
Radio vector
Las distancias desde un punto de la elipse hasta cada uno de los focos se llaman radios vectores correspondientes a dicho punto.
Ecuación canónica de la elipse
La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (-c,0) es

Vértices de una elipse referida a sus ejes

(0, b) y (0, -b).
ð Eje principal:
El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su intersección con la elipse se resuelve el sistema:

Los vértices son (a, 0) y (-a, 0)
ð Eje secundario:
Se resuelve el sistema:


Los otros dos vértices son (0, b) y (0, -b)
Reducción de la ecuación de una elipse
Dada una ecuación del tipo Ax2+ By2 + Cx + Dy + E = 0, ésta puede transformarse
por el método que se verá en los ejercicios de aplicación. Dicha ecuación se llama ecuación reducida de la elipse.
Si el segundo miembro fuese 1, se tendría una elipse centrada en (x0, y0). Los ejes
de la elipse son las rectas x = x0 e y = y0. Los vértices son (x0 ± a, y0) y (x0, y0 ± b).
En otro caso, como una suma de cuadrados es siemprepositiva, se tendría que ningún punto la verifica y se habla de una elipse imaginaria.
ð Centro de la elipse: (1, -1)
ð Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c a la abscisa del centro.
ð Los vértices se obtienen sumando y restando a las coordenadas del centro los semiejesde la elipse:
Interseccion de conicas
Los puntos de interseccion se obtienen resolviendo el sistema.

PARÁBOLA
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre deparámetro de la parábola (suele denotarse por p).
Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.
Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.

Ecuación canónica de laparábola
La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el
y = 2px
Demostración:
Name=2; HotwordStyle=BookDefault;



La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:
Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Elevando al cuadrado:


-px + y2 = px ð y2 = 2px
Hay otros tres casos elementales de parábolas:
Name=3; HotwordStyle=BookDefault;
ð Si el eje eshorizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px.
ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.
ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.
Parábola con vértice en un punto cualquiera
Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0,...