Geometria

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Geometría

Alegoría de la Geometría.
La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra ymetria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (queincluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a lasolución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía,náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.
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Axiomas, definiciones y teoremas

Un teorema descubierto y probado por Arquímedes:una esfera tiene 2/3 delvolumen de su cilindrocircunscrito.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistemaaxiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetosque verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.
Axiomas

La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.
En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y elplano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático yel álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos.  puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
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Topología y geometría

El nudo de trébol.
El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo degeometría transformacional, en que las transformaciones quepreservan las propriedades de las figuras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las transformaciones que no alteran las propriedades de las figuras son las isometrías). Esto ha sido frecuentemente expreso en la forma del dicho "la topología es la geometría de la página de goma".
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Tipos de geometría
Entrelos tipos de geometría más destacables se encuentran:
* Geometría euclidiana
* Geometría plana
* Geometría del espacio
* Geometría no euclidiana
* Geometría algebraica
* Geometría analítica
* Geometría clásica
* Geometría de dimensiones bajas
* Geometría descriptiva
* Geometría diferencial
* Geometría de curvas y superficies
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