Geometrica Vectorial - Rodrigo Farinha

GEOMETRÍA
ANALÍTICA-VECTORIAL

Conceptos Básicos
Teórico y Práctico

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha
Publicado en [Octubre de 2010] en mi sitio
www.arfsoft.com.uy
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material sin dar crédito a su autor. Solamente se puede imprimir y
sin modificación alguna.

GEOM. ANALÍTICA-VECTORIAL (BÁSICO)

Escrito por Prof. A.Rodrigo Farinha

Índice
Vectores …………………………………………………………………….. 3
Definición ……………….………………………………………………….. 3
Características ……………….……………………………………………… 3
Notación …………………….………………………………………………. 3
Cómo expresar un vector dados sus puntos extremos ……………………… 4
Igualdad de vectores ………………………………………………………... 4
Vector nulo ………………………………………………………………….. 4
Módulo de un vector ………………………………………………………... 5Distancia entre dos puntos ………………………………………………….. 5
Suma de vectores …………………………………………………………… 6
Vector opuesto ……………………………………………………………… 6
Resta de vectores …………………………………………………………… 7
Producto de un vector por un número ……………………………………… 7
Producto escalar de vectores ……………………………………………….. 8
Ángulo entre dos vectores ………………………………………………….. 9
Condición de paralelismo entre dos vectores ………………………………. 9Condición de perpendicularidad entre dos vectores ……………………..…. 9
Ecuación vectorial de la recta ……………………………………………... 10
Ecuación paramétrica de la recta …………………………………………... 10
Ecuación continua de la recta …………………………………………….... 11
Ecuación cartesiana de la recta …………………………………………...... 11
Ángulo formado por dos rectas …………………………………………….. 12
Rectas paralelas y perpendiculares …………………………………………13
Posición relativa de dos rectas en el plano …………………………………. 13
Ecuación canónica de la recta ……………………………………………… 14
Ecuación del plano …………………………………………………………. 15
Ángulo formado por dos planos ……………………………………………. 15
Ángulo formado por una recta y un plano …………………………………. 16
Distancia entre un punto y un plano ……………………………………….. 16
Planos paralelos y perpendiculares ………………………………………… 17Posición relativa de dos planos en el espacio ………………………………. 17
Práctico ……………………………………………………………………… 18

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GEOM. ANALÍTICA-VECTORIAL (BÁSICO)

Escrito por Prof. A. Rodrigo Farinha

VECTORES
Definición: Un vector es una matriz línea, es decir que es una matriz de tipo fila o columna.
Usualmente se tiene la noción de que un vector es una “flecha” debido a su frecuente uso gráfico en
Física enel plano y en el espacio. Pero se debe tener en cuenta, analizando la definición dada, que el
vector es un ente matemático más general que eso.
Aquí se trabajará con vectores reales, es decir con matrices de tipo línea cuyos elementos son números
reales. Esto permitirá representarlos mediante coordenadas y dibujarlos como un segmento dirigido
(flecha).

Características
Un vector posee 3características:
Módulo o Norma: la longitud del vector
Dirección: la recta a la que pertenece el vector
Sentido (tener en cuenta que la recta posee dos sentidos)

Los vectores pueden situarse en el plano (2 dimensiones), en el espacio (3 dimensiones), hasta infinitas
dimensiones.
En el plano:

En el espacio:
y

0

x

Notación
Una forma de nombrar un vector es escribiendo en formaordenada las letras que representan a sus
puntos extremos con una flecha encima: AB (vector que comienza en el punto A y termina en B).
Otra forma de nombrarlo es mediante una letra minúscula con una flecha encima: v
También, cuando se sobreentiende que se trata de un vector, se puede escribir la letra sin la flecha: v

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Escrito por Prof. A. RodrigoFarinha

Cómo expresar un vector dados sus puntos extremos
Veamos los vectores en el plano (las mismas propiedades pueden
ser aplicadas en más dimensiones). Es así que podemos escribir
su origen y su extremo como puntos (x, y). La ubicación de estos
puntos le dará el sentido al vector. Si el origen del vector es, por
ejemplo, A = (1, 1) y el extremo B = (4, 5), el vector será AB (de
A...