Geometría analítica, r. figueroa

1. Hallar las coordenadas del punto P(x,y); que equidista de R(2,3); S(4,-1);
* Entonces : D(R, P) =D(S, P) =D (T, P)

* De: D(R,P)=D(S,P)

x-22+y-32=x-42+y+12
x2-4x+4+y2-6y+9=x2-8x+16+y2+2y+1
x-2y-1=0⋯→I
* De: D(S,P)=D(T,P)

(x-4)2+(y+1)2=(x-5)2+(y-2)2
x2-8x+16+y2+2y+1=x2-10x+25+y2-4y+4
x+3y-6=0⋯→II

* De I y II se obtienen las coordenadas del punto buscado:x-2y-1=0
-x-3y+6=0
-5y=-5
y=1
x=3
* Por lo tanto P(3,1)

2. Dos vértices de un triangulo equilátero son los puntos A (1,0) y B (-1,23). Hallar las coordenadas del tercer vértice.

* Por propiedad: AB=BC=CA
* De AB=BC
1+12+232=x+12+y-232
16=x2+y2+2x-43y+12+1
3=x2+y2+2x-43 ⋯→I

* De AB=CA
4=x-12+y-02
15=x2+y2-2x ⋯→II

* Restando: I - II:3=x2+y2+2x-43
15 =x2+y2-2x
-12=4x-43y
-3=x-3y
x=3y-3 ⋯→③III
* Sustituyendo: III en II:
15=3y-32+y2-23y-3
15=3y2-63y+9+y2-23y+6
15=4y2-83y+15
y=23
Hallando X en III:
x=3y-3
x=323-3
x=3
* Entonces: C(3,23)

3. Dados los punto M (2,2) y N (5,-2); halle en el eje de la abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto.



* Por propiedad:MN2=PM2+NP2
25=x-22+4 2+x-52+4 2
25=x2-4x+4+4+x2-10x+25+4
2x2+12-14x=0
x2-7x+6=0
x-6x-1=0
* X=6 v x1=1
* P(1,0) v p´(6,0)

4. El segmento que une A (-1,2) con B (2,-5) se prolonga hasta C(x, y), sabiendo que AC=3 AB, hallar las coordenadas de C.

A (-1,2) B (2,-5) C (x, y)

* Como C esta en la prolongación AB :

r=BCAB=2
*
2=x+r-11+r=>x=8

*
5=y+r-21+r=>y=-11

* Entonces: C(8,-11)

5. Si G (3,4) es el baricentro de un triangulo ABC y G143,2, G23,193 son los baricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A, B, y C; determinar las coordenadas de estos vértices.











* Del ∆ AGC: con baricentro G₂ (3,19/3)

3= x1+x3+33→6=x1+x3…I

193=y1+y3+44→15=y1+y3…II

* Del ∆ AGB con baricentro G₁(4/3,2)

43=x1+3+x23→1=x1+x2…III

2=y1+4+y23→2=y1+y2…IV

* En el ∆ ABC de baricentro G(3,4)
* Reemplazando I y II:

3=x1+x2+x33 ∧ 4=y1+y2+y33

x2=3 ∧ y2=-3

* Reemplazando III y IV

3=x1+x2+x33 ∧ 4=y1+y2+y33

x3=8∧ y3=10

* Luego:
x1=-2 ∧ y1=5

* A(-2,5) ; B(3,-3) y C(8,10)

6.

7. Hallar los valores de K de modo que los puntos A(3,k); B(K,K-3) y C (2-K,-1); sean vértice de un triangulo rectángulo, recto en B.

* Por propiedad: AB2+BC2=AC2

(k-3)2+(k-3-k)22+(2-k-k)2+(k-3+1)22=(2-k-3)2+(k+1)22k2-6k+9+9+4+4k2-8k+k2-4k+4=k2+2k+1+k2+2k+1
4k2-11k+12=0
k-42k-3=0

* K=4 v k= 3/2

8. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto P(x, x) tal que AP: PB =1/2, y el punto medio del segmento que une los puntos M (-3,2) y N (7,6).

* Hallando las coordenadas de P. siendo A=x1,y1 y B(x2,y2)

* r=APPB=12
x=x1+x2r1+r→ 0+5121+12 →x=53

y=y1+y2r1+r → 2+0121+12 →y=43
*P(53,43)

* Hallando el punto medio de M (-3,2) y N (7,6).

PM=-3+72;2+62

PM=(2;4)
* Luego, la pendiente que pasa por el punto medio de MN (2,4)y el punto P(53,43), es:

m=4-432-53

m=8

9. Sean A (5,3), B (-1,2) y C (1,-1) tres vértices de un paralelogramo ABCD, hallar la distancia del cuarto vértice al punto P (-2,6).

D (x3,y3)B(x2,y2)

A (x1,y1) C(x4,y4)

* AD//BC → m1=m2
y3-y1x3-x1= y4-y2x4-x2

y3-3x3-5=-1-21+1

-3x3+15=2y3-6
2y3+3x3=21 ⋯→I

* BD//AC → m3=m4
y3-y2x3-x2= y4-y1x4-x1

y3-2x3+1=-1-3 1-5

-4y3+8=-4x3-4
x3-y3=-3⋯→II

* De: I ∩ II
2y3+3x3=21
2x3-2y3=-6
5x3=15
x3=3
y3=6
* D(3,6)

* d(D,P) = (3+2)2+(6-6)2=25=5

10. El área de un...