Geometría Analítica

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS Industriales y de Servicios No. 100

Parábola
Ejercicios: 1, 2, 3

Pedro Raygoza | Geometría Analítica | 11 de diciembre de 2012

Ejercicio No. 1

Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia de San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 metros y su altura máxima 15 metros, es colocado en un eje decoordenadas en donde el eje de simetría coincide con el eje y, la base con el eje x . Hallar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria de dicho arco parabólico.

Esta es una imagen de dicho arco:

Trasladando los datos al simulador, tenemos:

Para resolver el problema, teniendo el vértice y dos puntos sobre la parábola, haremos lo siguiente:

Datos | Ecuación de la parábola |Resolviendo |
Vértice:V= ( h, k )V= ( 0, 15 )2 puntos:( 7, 0 ) y ( -7, 0 ) | (x-h)2=4p(y-k) | (7-0)2=4p(0-15)72=4p(-15)49=4p(-15)49=-60pp=49-60 |
| Sustituyendo | |
| (x-0)2=4p(y-15)(7-0)2=4p(0-15) | |
p=-0.817 |

Conociendo el valor de “p”, sustituimos para encontrar la ecuación ordinaria de nuestra parábola.

(x-0)2=-3.268(y-15)

Ingresamos la ecuación a nuestro simulador y tenemos:Ejercicio No. 2

Problema a desarrollar.
* En la tabla adjunta se incluyen las alturas máximas y los alcances logrados por los diferentes proyectiles, lanzados todos a la misma velocidad.
* Se requiere obtener las ecuaciones de las trayectorias de esos proyectiles, suponiendo que en todos los casos, los proyectiles se disparan desde el punto (0,0).
* Encontrar la posición del focode la parábola en todos los casos y marcarla en la gráfica.

Trayectoria | Altura Max. | Alcance |
1 | 39 | 29.6 |
2 | 33 | 46.2 |
3 | 25 | 56.4 |
4 | 20 | 66.6 |
5 | 10.5 | 63.9 |
6 | 6.7 | 60 |

Para obtener los vértices de cada una de las parábolas, tenemos que encontrar el punto medio de la distancia recorrida de cada proyectil y elevarlo a su altura máxima.

TrayectoriaProyectil 1 | Trayectoria Proyectil 2 | Trayectoria Proyectil 3 |
x=x₁+x₂ 2x=29.6 2x=14.8y=39 | x=x₁+x₂ 2x=46.2 2x=23.1y=33 | x=x₁+x₂ 2x=56.42x=28.2y=25 |

Trayectoria Proyectil 4 | Trayectoria Proyectil 5 | Trayectoria Proyectil 6 |
x=x₁+x₂ 2x=66.6 2x=33.3y=20 | x=x₁+x₂ 2x=63.9 2x=31.95y=10.5 | x=x₁+x₂ 2x=602x=30y=6.7 |

Trasladando los datos al simulador, tenemos:

Una vez conociendo elvértice y uno de los puntos, encontraremos el valor de “p”, para después obtener el foco y directriz de cada una de las trayectorias parabólicas.

Trayectoria Proyectil 1 | Trayectoria Proyectil 2 | Trayectoria Proyectil 3 |
(x-h)2=4p(y-k)(29.6-14.8)2=4p(0-39)(14.8)2=4p(-39)219.04=-156pp=219.04-156p=-1.404 | (x-h)2=4p(y-k)(46.2-23.1)2=4p(0-33)(23.1)2=4p(-33)533.61=-132pp=533.61-132p=-4.043 |(x-h)2=4p(y-k)(56.4-28.2)2=4p(0-25)(28.2)2=4p(-25)795.24=-100pp=795.24-100p=-7.952 |

Trayectoria Proyectil 4 | Trayectoria Proyectil 5 | Trayectoria Proyectil 6 |
(x-h)2=4p(y-k)(66.6-33.3)2=4p(0-20)(33.3)2=4p(-20)1108.89=-80pp=1108.89-80p=-13.86 | (x-h)2=4p(y-k)(63.9-31.95)2=4p(0-10.5)(31.95)2=4p(-10.5)1020.8=-42pp=1020.8-42p=-24.305 |(x-h)2=4p(y-k)(60-30)2=4p(0-6.7)(30)2=4p(-6.7)900=-26.8pp=900-26.8p=-33.58 |

Conociendo el valor de “p” de cada parábola, haremos lo siguiente:

Trayectoria Proyectil 1 | Trayectoria Proyectil 2 | Trayectoria Proyectil 3 |
f=k-pf=39-1.404f=37.596d=k+pd=39+1.404d=40.404 | f=k-pf=33-4.043f=28.957d=k+pd=33+4.043d=37.043 | f=k-pf=25-7.952f=17.048d=k+pd=25+7.952d=32.952 |

Trayectoria Proyectil 4 | Trayectoria Proyectil 5 | Trayectoria Proyectil6 |
f=k-pf=20-13.86f=6.14d=k+pd=20+13.86d=33.86 | f=k-pf=10.5-24.305f=-13.805d=k+pd=10.5+24.305d=34.805 | f=k-pf=6.7-33.58f=-26.88d=k+pd=6.7+33.58d=40.28 |

Con esto nos damos que las coordenadas de foco y vértices, son:
Trayectoria Proyectil 1 | Trayectoria Proyectil 2 | Trayectoria Proyectil 3 |
f: (14.8, 37.596)d:y=40.404 | f: (23.1, 28.957)d:y=37.043 | f: (28.2, 17.048)d:y=32.952 |...