Geometría Como Disciplina Científica

TEMA 1. LA GEOMETRÍA COMO DISCIPLINA CIENTÍFICA

1. INTRODUCCIÓN

Experiencia, intuición y lógica en la génesis de la Ciencia

Toda Ciencia, aun la más abstracta como la Matemática, tiene en el individuo, como ha tenido en la especie humana, un origen experimental. Las experiencias primeras son simples observaciones de hechos que la vida misma presenta a nuestra consideración. El análisisde estos hechos suscita el deseo de crear artificialmente otros nuevos para someterlos también a estudio y comparación.

Esta fase experimental, que en algunas Ciencias ha tenido largos siglos de historia, en Matemáticas ha sido más breve. Un proceso subconsciente de inducción despierta pronto en el hombre la facultad de adivinar, de predecir el resultado de nuevas experiencias matemáticas, consólo imaginarlas. Pero esta maravillosa facultad, llamada intuición (del latín, de in= dentro, tueor= mirar) que es tan preciosa para el científico puro como para el técnico, no basta muchas veces para predecir ciertos resultados; y, lo que es peor, otras veces, nos engaña sorprendentemente.

De aquí que sean necesarios el raciocinio y la lógica, no sólo para dar solidez y estabilidad aledificio científico construido con los materiales cognoscitivos que la experiencia y la intuición han aportado, sistematizándolos y organizándolos deductivamente, sino también para llegar por vía deductiva a predecir los resultados que la intuición, por sí sola, es incapaz de alcanzar.

Numerosísimos son los ejemplos y curiosidades que muestran la insuficiencia o los engaños de la intuición, Por subrevedad y elementalidad nos contentaremos con los dos siguientes:

1º Supongamos un interlocutor de mediana cultura, que sepa que España tiene más de 20 millones de habitantes, y que nuestro cuero cabelludo tiene bastante menos de 5 cabellos por mm2; y preguntémosle si es seguro que existen dos españoles con igual número de cabellos.

La imposibilidad de imaginar la experiencia comparativale hará sin duda declarar al pronto que la pregunta no tiene contestación posible.

Sin embargo, un sencillísimo razonamiento permite llegar donde la intuición no llega, y contestar afirmativamente; pues si todos los españoles tuviesen distinto número de cabellos, habría alguno con más de 20 millones de cabellos, para lo cual necesitaría una superficie de cabeza mayor de 4 metros cuadrados.2º Propongamos al mismo interlocutor que imagine una cinta metálica pegada a la superficie de la. Tierra, a lo largo del Ecuador, y preguntémosle si al cortarla e intercalar un trozo adicional de un metro se separaría un poco o mucho la cinta de la Tierra. Si responde intuitivamente, estimará, sin duda, que la separación resultaría imperceptible. Engaño de la intuición, pues siendo el radioinvariablemente igual al perímetro dividido por la constante 2(, al añadir al perímetro un metro, el radio aumentará en 1:2( , esto es 0,16 m, cualquiera que sea su magnitud.

Edificación racional de la Geometría

La Geometría empezó siendo también un conjunto de reglas y conocimientos empíricos, obtenidos por vía experimental, y usados por los constructores y medidores de terrenos de losantiguos pueblos orientales. El genio griego la organizó deductivamente.

Deducir o demostrar una verdad es establecerla como consecuencia de verdades anteriormente establecidas, Retrocediendo en tal cadena deductiva, llegaremos necesariamente a un punto de partida, constituido por algunas verdades imposibles de reducir a otras más simples, y cuya certeza es forzoso admitir, bien sea por suevidencia inmediata, bien sea por la validez del cuerpo de doctrina que de ellas se deduce. Estas proposiciones se llaman axiomas o postulados, para distinguirlas de las proposiciones demostrables, llamadas teoremas, Así aparecen clasificadas las proposiciones de la Geometría desde los famosos “Elementos” de Euclides (s. III a. J. C.).

Del mismo modo que hay proposiciones que han de admitirse sin...