geometría riemann

Tarea 5 de An´lisis Matem´tico I
a
a
Sea (X, d) espacio m´trico.
e
Def: Una vecindad con centro en x y radio r > 0, es denotada por Vr (x) ={y ∈ X|d(x, y) < r}.
Def: Sean (X, d1 ) y (X, d2 ) espacios m´tricos. Se dice que d1 es equivalente a d2 si:
e
1. Dado r1 > 0, ∃r2 > 0 tal queVrd2 (x, y) ⊂ Vrd1 (x, y).
2
1
2. Dado r3 > 0, ∃r4 > 0 tal que Vrd1 (x, y) ⊂ Vrd2 (x, y).
3
4
Consid´rese X = R2 . x = (x1 , x2 ), y = (y1, y2 ), x, y ∈ R2 . Considere las siguientes m´tricas en
e
e
R2 :
1. d1 (x, y) = m´x{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}.
a
2. d2 (x, y) = |x1 − y1 | +|x2 − y2 |.
3. d3 (x, y) =

0, si x = y
.
1, si x = y

4. d4 (x, y) =

(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 .

A d4 se le conoce como la m´tricaeuclidiana y a d3 como la m´trica discreta.
e
e
Para el espacio R2 :
1. Demuestre que di es una m´trica en R2 .
e
2. Dibuje los conjuntosV1di (1, 1). Las vecindades de radio 1 con las diferentes m´tricas.
e
3. Demuestre que d1 , d2 y d4 son equivalentes.

Equipo 1
PatriciaRosario
Alonso
Julio

Los equipos para esta tarea son:
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Ana Karen
Jessica G.
Vanessa
Edith
Jessica P.
HugoSelene
Roc´
ıo
Jhosban
Iv´n
a
Jos´ Guadalupe Juan Jos´
e
e
V´
ıctor Manuel
Retiz

Equipo 5
D´maris
a
Dayana
Luis
Luis Felipe
V´ıctor Hugo

No se aceptan tareas individuales, s´lo se revisar´ una tarea por equipo. Fecha l´
o
a
ımite de entrega:
14/octubre/2013.

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