Geometría Y Álgebra Lineal 1

Geometr´ y Algebra Lineal I
ıa
Instituto de Matem´tica y Estad´
a
ıstica
“Prof. Rafael Laguardia”

Facultad de Ingenier´
ıa

´
Universidad de la Republica

´
Indice general
PREFACIO

vii

Cap´
ıtulo 0. RELACIONES Y FUNCIONES
0.1. Relaciones
0.2. Relaciones de equivalencia
0.3. Conjunto Cociente
0.4. Funciones
0.5. Composici´n de funciones
o

1
1
2
6
9
15

Cap´ıtulo 1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES Y MATRICES
19
Introducci´n
o
Matrices
El m´todo de escalerizaci´n
e
o
Teorema de Rouche-Frobenius
Sistemas homog´neos
e
Una interpretaci´n geom´trica
o
e

´
Cap´
ıtulo 2. ALGEBRA DE MATRICES
2.1. Operaciones con matrices
2.2. Producto de matrices
2.3. Ecuaciones matriciales. Matriz inversa.
2.4.El espacio de n-uplas
2.5. Dependencia lineal
2.6. El rango de una matriz
2.7. Matrices invertibles y rango
iii

19
24
27
38
43
44
49
49
51
57
66
71
82
85

´
INDICE GENERAL

iv

2.8.

Matrices elementales

87

Cap´
ıtulo 3. DETERMINANTES
3.1. Definici´n
o
3.2. Propiedades de los determinantes
3.3. Matrices elementales y determinantes
3.4. Matrices invertiblesy determinantes
3.5. Determinante de un producto de matrices
3.6. C´lculo de la matriz inversa por determinantes
a
3.7. Regla de Cramer

95
95
97
114
116
117
119
123

Cap´
ıtulo 4. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
4.1. Introducci´n
o
4.2. Vectores
4.3. Operaciones con vectores.
4.4. Ecuaciones vectoriales de rectas y planos. Paralelismo
4.5. Sistemas de coordenadas
4.6.Ecuaciones param´tricas de rectas y planos
e
4.7. Ecuaciones impl´
ıcitas de rectas y planos
4.8. Posiciones relativas de rectas y planos.

127
127
129
131
134
135
138
139
142

Cap´
ıtulo 5. PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL
5.1. Producto escalar
5.2. Aplicaciones a la geometr´ ´ngulos y distancias
ıa: a
5.3. Aplicaciones: ecuaciones de algunas superficies
5.4. Producto vectorial.
5.5.Aplicaciones geom´tricas.
e
5.6. Producto mixto

145
145
148
151
157
161
165

Cap´
ıtulo 6. ESPACIOS VECTORIALES
6.1. Espacios vectoriales
6.2. Ejemplos de espacios vectoriales
6.3. Subespacios
6.4. Subespacio generado e independencia lineal

167
168
170
174
180

´
INDICE GENERAL

6.5.
6.6.

Base de un espacio vectorial y dimensi´n
o
Suma de subespacios y sumadirecta

v

187
201

Cap´
ıtulo 7. TRANSFORMACIONES LINEALES.
205
7.1. Transformaciones lineales
205
7.2. Operaciones con transformaciones lineales.
208
7.3. Imagen y n´cleo de una transformaci´n lineal.
u
o
211
7.4. Transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas.
219
7.5. Isomorfismos entre espacios vectoriales
222
7.6. Matriz asociada a una transformaci´n lineal.
o
2257.7. N´cleo e imagen de una matriz.
u
234
7.8. Relaci´n entre n´cleo e imagen de una transformaci´n lineal y
o
u
o
de una matriz.
237
7.9. Cambio de base.
245
7.10. Operadores y matrices semejantes.
246
7.11. El espacio vectorial L (V, W )
249

vi

´
INDICE GENERAL

PREFACIO
Estas notas son una reelaboraci´n, corregida y muy modificada de las
o
correspondientes partes delas notas de 1991, en cuya redacci´n participao
ron un gran n´mero de docentes del Instituto de Matem´tica y Estad´
u
a
ıstica
“Prof. Ing. Rafael Laguardia”(IMERL) de la Facultad de Ingenier´ de la
ıa
Universidad de la Rep´blica.
u
Varios cap´
ıtulos fueron redactados nuevamente, teniendo en mente transformarlos a la brevedad en partes de un libro sobre el tema.
Los principales defectosde las notas derivan de la impericia de los firmantes y de la celeridad con que fue armada esta versi´n (no) final.
o
El Algebra Lineal constituye hoy una rama b´sica de la matem´tica con
a
a
aplicaciones dentro y fuera de esta. No se han incluido en esta edici´n, soo
bre todo por razones de tiempo ejemplos de tales aplicaciones. Sin embargo
algunas ser´n abordadas en clase, adem´s en la...