geometría

Poliedros
1.

Poliedros Regulares

Un poliedro es un subconjunto del espacio, constituido por caras, v´rtices y aristas. Las caras son regiones
e
poligonales planas; las aristas son segmentos de recta que limitan las caras; los v´rtices son los puntos de
e
confluencia de las aristas. La denominaci´n poliedro puede corresponder a la superficie resultante de la
o
uni´n de v´rtices, caras yaristas, o puede corresponder a la regi´n, usualmente convexa, cuya frontera
o
e
o
es la superficie mencionada antes. Es necesario, en todo caso, precisar de cu´l conjunto se trata. Los
a
prismas limitados, a los que se ha hecho referencia antes, son ejemplos de poliedros.
Las caras de un poliedro regular son regiones poligonales planas, regulares y congruentes. Como se sabe,
un pol´ıgono regular puede tener cualquier n´mero de lados; cabe preguntarse entonces, si un poliedro
u
regular puede tener cualquier n´mero de caras. Para responder a esta pregunta, se debe observar que en
u
cada v´rtice de un poliedro regular deben confluir, digamos n caras; o sea que si cada uno de los ´ngulos
e
a
interiores del pol´
ıgono regular que constituye cada cara mide t, en gradossexagesimales, se debe cumplir
la desigualdad
nt = 360,
pues nt = 360 implicar´ que todas las caras que confluyen en un v´rtice dado estar´ en un mismo
ıa
e
ıan
plano y esto no es posible en un poliedro.
Cada v´rtice de un poliedro es tambi´n el v´rtice de un ´ngulo poliedro. Como el ´ngulo poliedro con el
e
e
e
a
a
menor n´mero de caras es un triedro, esto significa que el n´mero m´
u
uınimo de caras que pueden confluir
en cada v´rtice de un poliedro regular, es 3.
e
Para determinar cuales pol´
ıgonos regulares pueden ser caras de un poliedro regular, se puede hacer el
siguiente an´lisis.
a
1. Tri´ngulos equil´teros. Como cada ´ngulo interior de un tri´ngulo equil´tero mide 60◦ , n · 60 < 360
a
a
a
a
a
se cumple para los siguientes valores de n : 3, 4, 5; o sea que lascaras de un poliedro regular pueden
ser tri´ngulos equil´teros.
a
a
2. Cuadrados. Como cada ´ngulo interior de un cuadrado mide 90◦ , n · 90 < 360 se cumple para n = 3;
a
o sea que las caras de un poliedro regular pueden ser cuadrados.
3. Pent´gonos regulares. Como cada ´ngulo interior de un pent´gono regular mide 108◦ , n · 108 < 360
a
a
a
se cumple para n = 3; o sea que las caras de unpoliedro regular pueden ser pent´gonos regulares.
a
4. Hex´gonos regulares. Como cada ´ngulo interior de un hex´gono regular mide 120◦ , n · 120 < 360 no
a
a
a
se cumple para valor alguno de n igual o superior a 3. Por lo tanto, las caras de un poliedro regular
no pueden ser hex´gonos regulares y tampoco pueden ser pol´
a
ıgonos regulares con un n´mero de
u
lados superior a 5.
Unaprimera conclusi´n es, entonces, que los unicos pol´
o
´
ıgonos regulares que pueden ser caras de un
poliedro regular son: tri´ngulos equil´teros, cuadrados, o pent´gonos regulares.
a
a
a
Una segunda conclusi´n es que en el caso de que las caras del poliedro regular sean tri´ngulos equil´teros,
o
a
a
pueden existir tres clases de tales poliedros, seg´n que confluyan en cada v´rtice, 3, 4,o 5 caras. En el
u
e
caso de que las caras sean cuadrados, puede existir una sola clase de tales poliedro, ya que solamente
pueden confluir tres cuadrados en cada v´rtice. Lo mismo ocurre si las caras son pent´gonos regulares.
e
a
Por consiguiente, s´lo pueden existir a lo m´s cinco clases de poliedros regulares.
o
a

2.

Los S´lidos Plat´nicos
o
o

Se conocen con el nombre des´lidos plat´nicos a las cinco clases de poliedros regulares convexos siguieno
o
tes:
• Tetraedro regular
• Octaedro regular
• Icosaedro regular
• Cubo (o hexaedro regular)
• Dodecaedro regular
Esta denominaci´n se debe a que la escuela plat´nica atribuy´ una correspondencia m´
o
o
o
ıstica entre el
tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro, con los cuatro elementos naturales:...