Geometría

Matemáticas 1º Bachillerato

Geometría Analítica (Tema 8)

Geometría Analítica
Sistema de Referencia
Conjunto formado por un punto fijo denominado origen (O), y una base

  ,  =>
x y

R={O ,  ,  }
x y

Dado un punto cualquiera R:P(a,b), las coordenadas de dicho punto vendrán según el
vector posición  = OP
p 

Vector a partir de dos puntos



AB= OB OA= x 2x1, y 2 y1 

-->




BA=OAOB= x 1 x 2, y1 y 2

(igual pero de sentido contrario)

A= x1, y 1

B= x 2, y2 

¿Cómo saber si dos puntos están alineados?

Los puntos A= x1, y 1 , B= x 2, y2  y C= x3, y 3 estarán alineados siempre que AB= x 2 x 1, y2  y 1 y

BC= x3 x 2, y3  y 2  tengan la misma dirección, y esto ocurre si sus coordenadas sonproporcionales, es decir, si se
cumple que:
x 2 x 1 y 2  y 1
=
x 3 x 2 y 3  y 2

Podemos deducir, aplicando vectores, que si los vectores tienen la misma dirección, el ángulo que forman entre ellos es
u v u v
u,v
de 0º, es decir, si realizamos el producto vectorial:  ·  =∣∣·∣∣ ya que cos     =1

¿Cuál es el Punto Medio (M) de un segmento?
Siendo

A= x1, y 1 y B= x 2, y2  dospuntos de un segmento, su punto medio será

M



x 1  x 2 y 1 y 2
,
2
2



Cabe destacar que M es un punto simétrico a A y B.

Punto simétrico de un punto respecto de otro
Si tenemos dos puntos, A y P, podemos hallar el simétrico de A respecto de P, tomando a éste último como punto medio
entre A y A', siendo este último el simétrico de A.
A= x 1, y 1 



P=



x 1 x 2y 1 y 2
,
=  , 
2
2

A' = x 2, y 2 

Los valores desconocidos son los de A', con lo que a partir de sustituir los valores de A en P, tenemos un sistema de tal
manera que:  x2, y 2 = 2 · x1, 2 ·  y1 

Recopilación: Jose Santiago Jiménez Sarmiento (www.iseron.com)

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Geometría Analítica (Tema 8)

Ecuaciones de las Rectas
Recta quepasa por dos puntos
p 
 = OA , como un vector dirección
Sabiendo dos puntos, A y B, podemos tener tanto un vector de posición
podemos obtener cualquier ecuación de una recta como veremos en los siguientes apartados.

 = AB , y por consiguiente,
d 

Nota: En caso de no conocer O, podemos tomar O=(0,0)


OX =  t · 
p
d

Ecuación vectorial de la recta
O es el origen decoordenadas.

p
 es el vector posición y

X es un punto variable de la recta r.


d

es el vector dirección, que es paralelo a r .

 ∣∣r
d

t es el parámetro, de tal manera, que al variar t, varía X sobre r

{

x= p 1t · d 1
y= p 2t · d 2

Ecuación paramétrica de la recta

}


 = d 1, d 2  , y sustituyendo los mismos en la ecuación vectorial de la recta,
p
d
 = p1,p2 
Sabiendo los siguientes datos, OX = x , y 
obtendremos el sistema que implica la ecuación pedida. Para cada t obtendremos un punto (x,y).

Ecuación continua de la recta

x p1 y p2
=
d1
d2

-->

x x0 y y 0
=
a
b

Despejando t y realizando el método de igualación obtenemos esta ecuación. Muy conocida de la segunda forma expresada.

Ecuación General o Implícita de larecta

r : Ax ByC=0

A partir de la ecuación paramétrica, si despejamos t, y realizamos, por ejemplo, el método de igualación t=t, obtendremos lo siguiente:
d 2 x d 1 y d 2 p 1 d 1 p 2=0 , y llamando A=d 2
B=d 1 y C=d 2 p1 d 1 p 2 , tenemos dicha ecuación general.

Especial atención hay que hacer sobre el punto

 A , B  , ya que sustituyendo por sus valores originales obtenemosmismo, un vector dirección perpendicular a la recta r, es decir,

d 2, d 1  , o lo que es lo

 A , B⊥r

Recordemos del tema de vectores, que para conseguir un vector perpendicular a uno dado, sólo tenemos que permutar sus componentes y cambiarle el
signo a una de ellas.

v1, v 2 ⊥ v2, v1 

o también,

v1, v 2 ⊥v 2, v1 

Recopilación: Jose Santiago Jiménez...