Geometría

TREINTA PROBLEMAS DE GEOMETR´
IA
´
SEBASTIAN ILLANES CARRASCO

Problema 1 (IMO 01) En un ABC sea AP la bisectriz del ∠BAC con P sobre
BC y sea BQ la bisectriz del ∠ABC con Q sobre CA. Se sabe que ∠BAC = 60
y que AB + BP = AQ + QB. ¿Cu´les son los posibles valores de los ´ngulos del
a
a
ABC?
Problema 2 (Ibero 97) Sean AE, BF dos alturas del ABC acut´ngulo, con
a
ortocentro H. La rectasim´trica de AE, respecto de la bisectriz interior del ∠A, y
e
la recta sim´trica de BF , respecto de la bisectriz interior del ∠B, se intersecan en
e
← ←
→ →
O. AE, AO vuelven a intersecar al circunc´
ırculo del ABC en M, N , respectiva←
→ ←
→
mente. Sean P = BC ∩ HN , R = BC ∩ OM , S = HR ∩ OP . Pruebe que AHSO
es un paralel´gramo.
o
Problema 3 (Cono Sur 07) Sea ABC un tri´nguloacut´ngulo, de alturas
a
a
AD, BE y CF (con D en BC, E en AC y F en AB). Sea M el punto medio
del segmento BC. La circunferencia circunscrita al AEF corta a la recta AM en
A y en X. La recta AM corta a la recta CF en Y . Sea Z el punto de corte de las
←
→ ←
→
rectas AD y BX. Pruebe que Y Z BC.
Problema 4 (Ibero 07) Sean ABC un tri´ngulo con incentro I y Γ una circuna
ferencia de centro I,de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa
por ninguno de los v´rtices. Sean X1 el punto de intersecci´n de Γ con la recta AB
e
o
m´s cercano a B; X2 , X3 los puntos de intersecci´n de Γ con la recta BC siendo X2
a
o
m´s cercano a B; y X4 el punto de intersecci´n de Γ con la recta CA m´s cercano
a
o
a
a C. Sea K el punto de intersecci´n de las rectas X1 X2 y X3 X4 .Muestre que la
o
recta AK corta al segmento X2 X3 en su punto medio.
Problema 5 (Selectivo Chile Ibero 07) Considere un ABC, E un punto sobre
AC y F un punto sobre BC. Asuma que AE = BF y que las circunferencias que
pasan por A, C, F y B, C, E, respectivamente, se intersectan en un punto D = C.
Demuestre que la recta CD es la bisectriz del ∠ACB.
Problema 6 (Cono Sur 06) En el cuadril´teroconvexo ABCD, E, F son puntos
a
−
→ −→
−
medios de AD, BC, respectivamente. CE ∩ DF = O. Si AO y BO trisecan CD,
pruebe que ABCD es un paralel´gramo.
o
Problema 7 (IMO 03) Sea ABCD un cuadril´tero c´
a
ıclico. Sean P, Q y R los pies
← ←
→ → ←
→
de las perpendiculares desde D sobre BC, CA y AB, respectivamente. Muestre que
P Q = QR si y s´lo si las bisectrices de ∠ABC y ∠ADC concurrenen AC.
o
1

2

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SEBASTIAN ILLANES CARRASCO

Problema 8 (IMO 98) Sea I el incentro del ABC. El inc´
ırculo del ABC es
tangente a BC, CA, AB en K, L, M , respectivamente. La recta paralela a M K, que
← ←
→ →
pasa por B, interseca a LM , LK en R, S, respectivamente. Demuestre que ∠RIS
es agudo.
Problema 9 Considere un punto D en el interior del tri´ngulo ABC. Se trazan
a
lascircunferencias w1 y w2 de modo que w1 pase por B y D, w2 pase por C y D,
adem´s la segunda intersecci´n de las circunferencias (no igual a D) pertenece a
a
o
←
→ ←
→
←
→ ←
→
la recta AD. Sean E = w1 ∩ BC, F = w2 ∩ BC, X = DF ∩ AB, Y = DE ∩ AC.
←
→ ←
→
Pruebe que BC XY .
Problema 10 (IMO 97) El ∠A es el menor ´ngulo en el ABC. Los puna
tos B y C dividen al circunc´
ırculo del ABC endos arcos. Sea U un punto en
el arco BC que no contiene a A. Las mediatrices de los lados AB y AC cortan
←
→
← ←→
→ −
a AU en V y W , respectivamente. Sea T = BV ∩ CW . Pruebe que AU = T B +T C.
Problema 11 (Ibero 90) El inc´
ırculo de un ABC tiene centro I, y es tangente
a BC, AC, AB en D, E, F , respectivamente. Adem´s, es intersecado nuevamente
a
por AD en P . Sea M el punto medio deEF . Pruebe que P, I, M, D son conc´
ıclicos
o colineales.
Problema 12 Sea AB el di´metro de una circunferencia C. Sean C y D puntos de
a
←
→ ←
→
la tangente en B, donde C y D est´n en lados opuestos de B. AC y AD cortan a
a
←
→ ←
→
C nuevamente en E y F respectivamente. CF y DE cortan a C nuevamente en G
y H respectivamente. Muestre que AG = AH.
Problema 13 Sea O el centro del...