geometrías euclidianas

Geometría euclidiana.
Proviene del idioma griego Geos: tierra Metria: medida .
Rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano y en el espacio. Basada en los postulados de Euclídes, la cual, en el espacio tridimensional, corresponde a nuestras ideas sobre cómo es el espacio. Esta materia se basa en varias definiciones, como las depunto y de línea, junto con varios postulados acerca de las propiedades geométricas.

Geometría no Euclidiana.
Cualquier sistema de geometría que no está basado en el postulado paralelo de Euclídes, que dice que una línea y sólo una línea se puede trazar a través de un punto fuera de una línea dada, paralela a esa línea. 
Axiomas de la Euclidiana.
1º- Trazar una recta de un punto cualquiera aotro: (por dos punto sólo pasa una recta )

2º- Se puede prolongar una línea recta finita continuamente.

3º- Se puede describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.

4º- Todos los ángulos rectos son iguales.

5º- si una línea recta corta a otras dos rectas formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadasindefinidamente, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.







Geometría de Riemann
Se trata de estudiar las variedades diferenciales con la métrica de Riemann para poder obtener nociones locales de ángulos, longitudes de curva y volúmenes, entre otras magnitudes, sin hacer referencia a como se sitúa la superfıcie en el espaciotridimensional.
La idea radica en diferenciar las rectas, entre las que se prolongan al infinito, y las que se extienden indefinidamente.
Se define por primera ¨vez el concepto de integral de Riemann y se inicia la teoría de funciones de una variable real. Este tipo de integral se define como la suma finita de áreas de rectángulos.
Riemann, en su trabajo, encontró la forma correcta de extender endimensiones la geometría diferencial de superficies, el cual Gaussdemostró en su ´ teorema egregium.
Este tipo de geometría surge como una generalización abstracta de la geometría diferencial de superficies en R3
Como casos particulares Aparecen las geometrías no euclidianas (hiperbólica y el elíptica) y la euclidiana. De hecho, con el objeto básico llamado tensor de curvatura ´de Riemann, el cual parael caso de una superficie se puede reducir a un número, si es diferente de 0 o constante estaremos en modelos de geometría no euclidiana.
Se trata de estudiar las variedades diferenciales con la métrica de Riemann para poder obtener nociones locales de ángulos, longitudes de curva y volúmenes, entre otras magnitudes, sin hacer referencia a como se sitúa la superficie en el espacio tridimensional.La aparición de esta nueva geometría fue acogida con gran entusiasmo entre la comunidad matemática ya que suponía un cambio de mentalidad respecto a la geometría clásica euclidiana. Durante 2000 años, se consideraban solamente figuras en 2 o 3 dimensiones, pero Riemann abrió la posibilidad de considerar dimensiones superiores, con las consecuencias que ello conllevaba para la ciencia.
Entreotras aplicaciones, esta geometría se puede aplicar a problemas de topología diferencial y a la teoría de la relatividad de Einstein.
Este último utilizó la geometría de Riemann tetradimensional para explicar la creación del universo. Los físicos, a finales del siglo pasado, utilizarían la geometría decadimensional para intentar unir todas las leyes y fuerzas del universo, añadiendo una dimensión masen sus estudios actuales.
Geometría Esférica

Puestas en la superficie de una esfera. 
 La geometría esférica es la geometría que describe la superficie de una esfera. Es muy útil para los pilotos y navegantes que viajan en aviones y barcos dando vueltas alrededor de la Tierra. En esta geometría el camino más corto entre dos puntos es un círculo máximo, o sea, una circunferencia trazada...