Geometrías no euclidianas

ISFD N° 29

Profesorado de matemática.

Curso: 3° año

Materia: Historia de la matemática

Tema: Geometrías no euclidianas



Marco Histórico:
La historia de la aparición de las Geometrías No-Euclidianas, corresponde a una época revolucionaria en la historia de la Matemática, no solamente porque estas geometrías se desarrollaron prácticamente en el aire, sinun apoyo en la "realidad" de ese momento, sino porque, también, su aparición cuestiona lo que es un sistema axiomático, lo que es un axioma independiente y lo que significa la consistencia de una teoría matemática. Estas preguntas estaban presentes en el momento de la crisis de los fundamentos de la Matemática (a finales del Siglo XIX y comienzos del XX) y darían comienzo, un poco más adelante, ala estructuración de la Lógica Matemática.
Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.
La Geometría Euclidiana (o Plana), como su nombre lo indica se le debe a Euclides (300 a.C). El Libro I de los Elementos de Euclides, recoge los conocimientos de GeometríaPlana de la época en 48 Proposiciones, las cuales se deducen lógicamente de un conjunto de 23 definiciones, 5 axiomas y 5 postulados. Se dice que éste es el primer tratado de la Matemática pura. El método axiomático y deductivo empleado por Euclides es el preferido por la mayoría de los matemáticos de hoy en día, pues garantiza la solidez relativa de la teoría que lo utilice.

Postulados de lageometría euclidiana:
1 Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro,
2 Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.
3 Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5 Si una recta que corte a otras dos, forma con éstas ángulos interiores del mismolado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma sea menor que dos rectos.
El quinto postulado difiere de los otros postulados por su especial complejidad. Esta característica llamó la atención de los matemáticos desde el principio, pues lo colocaba más cerca de las proposiciones que de los postulados. Elmismo Euclides lo sabía y lo introdujo solamente después de la Proposición 28; quizás esperando poder deducirlo lógicamente de los otros postulados. Lo introduce justo en el momento en el cual ya le era inevitable tener que usarlo.
Muchos fueron los matemáticos que se quemaron las pestañas tratando de probar o de simplificar este postulado. Como muestra tenemos a: Ptolomeo (S, II a.C.); Proclus(412-485); Nadir-al-din-al-Tusi (1201-1274); Saccheri (1667-1733); Lambert (1728­1777); D'Alembert (1717-1783); Lagrange (1736-1813); Legendre (1752-1833); Playfair (1748-1819); Laplace (1749-1827); Farkas Bolyai (1775-1856); Wachter (1792-1818); Schweikart (1780-1859); Taurinus (1794-1874).
Algunos de ellos estaban convencidos de que dicho postulado no era independiente, de los otros cuatro, esdecir que sería posible deducirlo de ellos. Proclus afirmó que dicho postulado debía ser posible demostrarlo a partir de los otros, ya que su recíproco era la Proposición 17. Otros trataron de reemplazarlo por enunciados equivalentes y más evidentes, restándole complejidad y acercándolo a los otros postulados. Hoy en día, utilizamos como quinto postulado el enunciado equivalente reencontrado porPlayfair en el Siglo XVII (Proclus ya lo había utilizado).
Este dice: “Por una punto dado exterior a una recta sólo puede trazarse otra (única) paralela a ella”.
Los trabajos de Saccheri y Lambert
Los trabajos de Saccheri y de Lambert fueron especialmente importantes en el descubrimiento de las Geometrías No-Euclidianas, es decir, Geometrías donde el quinto postulado no es supuesto como...