geopolitica

Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es  ya que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.
Unejemplo de sistema lineal compatible determinado es  cuya solución única es  y .
[editar]Existencia de soluciones
El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia desolución, de un sistema como (1) con . Si sucede que la función vectorial:

es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase  y su jacobiano no se anula en ningún punto entonces existe unaúnica solución del sistema (1). En ese caso existirá una función inversa, y se podrá escribir la solución buscada simplemente como:

Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendocondición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones  no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en queexiste más de una solución, si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.
En casos de un menor número de ecuaciones quede incógnitas, cuando , entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque nonecesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso .
[editar]Número de soluciones
En un sistema de ecuacioneslineales compatible y determinado la solución es siempre única. En el caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede probarse que dos curvas polinómicas en el plano degrados n y m funcionalmente independientes tienen como mucho nm soluciones diferentes. Ese resultado se desprende del siguiente teorema de Bézout:
Dos curvas del plano proyectivo complejo , de grados n y m sin...