geotecnia






Geometría Analítica.
La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos geo­métricos y números, de tal manera que los proble­mas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica.

El Plano Coordenado.
Consideremos dos rectas reales como laanterior: una horizontal y otra vertical, como se muestra en la figura 1, de modo que se intersequen en los respectivos orígenes. Estas dos rectas determinan un plano que llamamos “plano coordenado” o también “plano cartesiano”. A la recta horizontal la llamaremos “eje de las x” o “eje de las abscisas” y a la recta vertical “eje de las y” o “eje de la ordenadas”. El origen común lo designamos con laletra O y lo llamamos “origen del sistema coor­denado” o, simplemente, “origen”. Los ejes coor­denados dividen al plano en cuatro regiones que se llaman “cuadrantes” y se numeran como se muestra en la propia figura.


Puntos en el Plano.
Ejercicio:
Represente los siguientes pares or­de­nados en el plano cartesiano y explique el pro­ce­dimiento:
A (3; 2);
B (0; -3);
P (2; 3) y
Q (3;2)





Fórmula de la Distancia entre Dos Puntos.
Si se conocen las coordenadas de dos puntos del pla­no, se puede hallar la distancia que los separa. Para ello se deduce una sencilla fórmula que es con­se­cuencia directa del teorema de Pitágoras. Consi­deremos que los puntos conocidos son P(x1, y1) y Q(x2, y2) y se quiere hallar la distancia entre P y Q. En la figura 3 los puntos P y Q sehan repre­sentado en el plano y se muestra el segmento PQ cuya lon­gitud se desea hallar. El segmento PQ es la hipo­tenusa del triángulo rectángulo PQR. Los catetos de este triángulo miden respectivamente ½x2 – x1½ y ½y2 – y1½.
Llamemos d(P, Q) a la distancia entre estos puntos. Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PQR se obtiene para la distancia entre P y Q:_________________


Ejercicio:
Halle la distancia entre los puntos:
a) A(–5/2, 3) y B(4, –5/2).
b) A(–2, 4) y B(2, 2).


Fórmula del Punto Medio.
Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) los extremos de un segmento. Llamemos M(x, y) al punto medio del segmento PQ. En la figura 4 se muestra esta situa­ción. Nótese que la proyección horizontal de M es exactamente el punto medio de la proyección horizontal delsegmento PQ. Lo mismo sucede para las proyecciones verticales. Como el número cen­tral entre dos números es simple­mente su promedio, resulta:


y
En resumen: Las coordenadas del punto medio del segmento PQ es .
Ejercicio:
Sean los puntos A (2; 3), B (4; 1) y C (–1; 1). Halle la longitud de la mediana correspondiente al vértice C del triángulo ABC.


División de un Segmento en unarazón dada.
Consideremos los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) y el segmento que determinan. Sea P(x, y) un tercer punto que divida al segmento en la relación:
(Razón)
Por lo tanto, las coordenadas de P se obtienen de la siguiente manera:
e

Ejercicio:
Halle las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento cuyos extremos son A(1, 7) y B(6, -3) en la razón de 2/3.
Área de unaregión poligonal en función de las coordenadas de sus vértices.

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR.-
Sean P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) los vértices de un triángulo. El Área A en función de las coordina­das de los vértices viene dada por:


Ejercicios:
a Calcular el área de la región triangular cuyos vértices son los puntos (2; 3), (5; 7) y (–3; 4).
b Calcular el aproximadamente el áreade la región triangular cuyos vértices son los puntos (1, 3/5), (-√3, 1) y (6, 3)


ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL DE MÁS DE TRES LADOS.-
Una expresión muy útil cuando se trata de hallar áreas de regiones poligonales de más de tres lados, en función de las coordenadas de sus vértices, es la siguiente:

Donde a y b se calculan así:



Recuerda que los vértices del polígono son los puntos...