Gestiòn Administrativa y Contable

 
 
Límites que involucran funciones trigonométricas
Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos yaestudiados.
Vamos a probar que:

a.
  donde es un ángulo que se mide en radianes.
 
Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad siguiente: , donde el lalongitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

 
es la medida del arco
es elradio del círculo
Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo cuya medida en radianes es
 

En este caso como se tiene que por lo que
El triángulo es rectángulo y sus catetosmiden respectivamente (Note que ).
Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:

Como la longitud de es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que , se tiene que:

Como los dossumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:

y como entonces:

de donde
Si es un número positivo,podemos tomar de tal forma que siempre que .
De otra manera: siempre que por lo que , y similarmente, siempre que por lo que
De esta forma hemos probado los dos límites.
b.
Vamos a probar ahoraque
Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar directamente se obtiene la forma .Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por el ángulo central (siendo en radianes su medida), con , como se muestra en la figura siguiente:
 

 
Puede observarse que: el área delel área del sector el área del (1). Además se tiene que:
el área del .
el área del sector
el área del
Sustituyendo en (1):
de donde
Como entonces , por lo que podemos dividir los términos...