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Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

CIICAp

METODO DE EULER
Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente:
dy
= f ( x, y )
dx

El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar
desde un valor anterior aun nuevo valor:
Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso
O bien,
y i +1 = y i + φh

(1)

De esta manera, la formula (1), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y
así trazar la trayectoria de la solución. La figura 1, muestra el procedimiento aplicado con
la ecuación (1).

Figura 1. Predicción de un nuevo valor en la solución.
El método de Eulerutiliza la pendiente al inicio del intervalo como una
aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada
proporciona una estimación directa de la pendiente en xi.

φ = f ( x, y )

Marco A. Cruz Chávez

mcruz@buzon.uaem.mx

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f ( xi , y i ) , es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi.Sustituyendo esta estimación de la
pendiente en la ecuación (1), se tiene:
y i +1 = y i + f ( xi , y i )h

(2)

La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta formula se predice un
nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor
original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de
paso h.Ejercicio 1. Use el método de Euler para integrar numéricamente la siguiente ecuación
diferencial:
dy
= −2 x 3 + 12 x 2 − 20 x + 8.5
dx

Desde x = 0 hasta x = 4, con un tamaño de paso h = 0.5. Con la condición inicial de que
cuando x = 0 entonces y = 1. Obtenga la solución exacta integrando analíticamente y
compare los resultados con los obtenidos por el método de Euler. Tabular los resultadosde
Euler, la solución real y el error relativo porcentual.
Ejemplo:
Aplicando la ecuación (2), para encontrar la primera aproximación:
x1= 0
y1= 1

y 2 = y1 + f ( x1 , y1 )h
La pendiente es:
f(0,1)= -2(0)3+12(0)2-20(0)+8.5 = 8.5
Sustituyendo en la formula de Euler
y2 = 1 + 8.5(0.5) = 5.25

Marco A. Cruz Chávez

mcruz@buzon.uaem.mx

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METODO DE HEUN
Es un método que mejora la estimación de Euler, al estimar la pendiente con dos
derivadas para el intervalo h evaluado, una en el punto inicia y la otra en el punto final. Este
procedimiento se ilustra en la figura 2.

Figura 2. Corrección de la pendiente con el método de Heun al usar dos derivadas. En a)
predictor y b) corrector.

En el método deEuler la pendiente al inicio de un intervalo es:
y i' = f ( xi , y i )

La cual se usa para extrapolar linealmente a yi+1
y i +1 = y i + f ( xi , y i )h

(a)

En el método de Heun la yi+1 es una predicción intermedia conocida como ecuación
predictor. Esta permite la estimación de la pendiente al final del intervalo (ver figura 2a):
y i' +1 = f ( xi +1 , y i +1 )

Marco A. Cruz Chávezmcruz@buzon.uaem.mx

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Las dos pendientes calculadas, al inicio y final del intervalo se pueden combinar para
obtener una pendiente promedio (ver figura 2b) para el intervalo:

y

'

=

y ' + y i' +1
f ( xi , y i ) + f ( xi +1 , y i +1 )
=
2
2

Esta pendiente promedio se utiliza después para extrapolarlinealmente desde yi hasta yi+1
usando el método de Euler, que se conoce ahora como ecuación corrector:

y i +1 = y i +

f ( xi , y i ) + f ( xi +1 , y i +1 )
h
2

(b)

Las ecuaciones (a) y (b), constituyen el método de Heun.
La ecuación (b) posee en ambos lados del signo igual a yi+1, por lo que se puede aplicar de
forma iterativa ella misma, varias veces en cada intervalo. De esta...