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Matemáticas I

CONTENIDO

Unidad 1. Funciones reales 1.1 Números reales 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Recta numérica real Orden de los números reales Intervalos abiertos e intervalos cerrados

1.2 Desigualdades 1.2.1 1.2.3 1.2.4 Propiedades de las desigualdades Resolución de las de desigualdades Desigualdades que involucran valor absoluto

1.3 Funciones reales 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7Relaciones Funciones Representación gráficas de una función Operaciones con funciones Composición de funciones

1.4 Límite y continuidad de funciones 1.4.1 Concepto de límite de una función 1.4.2 Cálculo de límites 1.4.3 Límite por la derecha y límite por la izquierda 1.4.4 Continuidad de una función en un número

Unidad 2. La derivada

2.1 La derivada y el problema de la recta tangente 2.1.2Derivada de una función 2.1.3 Reglas básicas de derivación 2.2 Derivadas de funciones especiales 2.2.1 Derivadas de orden superior 2.3 Regla de la cadena y derivación implícita 2.3.1 La regla de la cadena

2.3.2 Derivación implícita 2.4 Razón de cambio

Unidad 3. Aplicaciones de la derivada

3.1 Razones relacionadas 3.2 Máximos y mínimos 3.3 Problemas de optimización 3.3.1 Aplicaciones enproblemas de optimización 3.3.2 Aplicaciones a la economía BIBLIOGRAFÍA

Unidad 1 Funciones reales

Contenido
1.1 Números reales 1.2 Desigualdades 1.3 Funciones reales 1.4 Continuidad y límite de funciones

1.1 NÚMEROS REALES
Como recordarás, en tu curso de matemática básicas aprendiste que los números reales son un conjunto infinito de números formado por la unión de dos conjuntos: el conjuntode los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Los números racionales a su vez contienen a los números enteros y a los números fraccionarios. Finalmente, los enteros contienen al conjunto de los números naturales (ver figura 1.1).

Figura 1.1 Conjunto de los números reales

La notación para los diferentes conjuntos es la siguiente

El conjunto de los númerosirracionales se denota por , y está formado por el conjunto de números que no pueden ser representados como el cociente de dos enteros. Ejemplos de números irracionales son

π,

2,

3 y el número

e=2.718281...

, por supuesto que no son todos, existe una infinidad de números reúne a todos los

irracionales. Finalmente, el conjunto de los números reales conjuntos anteriores, y se representa por.

1.1.1 Recta numérica real.
El conjunto de números reales tiene una interpretación geométrica como puntos de una recta horizontal llamada recta numérica real (figura 1.2).

Figura 1.2. Recta numérica real

Cada punto de la recta representa un número real, que puede ser número natural, entero, racional o irracional. Por convención , los números positivos se encuentran a la derecha delcero y los números negativos a la izquierda del mismo.

1.1.2 Orden de los números reales
Al comparar dos números reales a y b solo puede cumplirse una de las siguientes posibilidades: a) b) c) Que a sea menor que b, esto se representa mediante a < b. Que a sea igual a b, esto se representa mediante a = b. Que a sea mayor que b, esto se representa mediante a > b.

A las tres posibilidades delcuadro anterior se le conoce como la ley de la tricotomía. La posición dos números reales a y b en la recta numérica te dice cuál de ellos es el mayor, esto es, al comparar dos números cualesquiera el número que este a la derecha siempre será mayor que el que este a la izquierda. Este es un criterio informal pero es de gran ayuda práctica. Ejemplo 1: Sean a = - 5 y b = 2 dos números reales, alcomparar estos números el 2 está a la derecha de – 5, por tanto dos es mayor que (>) menos cinco. Esto en símbolos matemáticos se representa de la siguiente forma 2 >-5 y se lee “2 es mayor que – 5”.

Ejemplo 2: Sean a = - 4 y b = -1, en este caso –1 está a la derecha de – 4, por lo tanto –1 es mayor que – 4, esto se representa de la siguiente forma

-1 > - 4, - 4 < -1 ,

-1 es mayor que – 4,...