Gestión de calidad

TEMA 6

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL



6.1. Introducción
6.2. Recta de regresión
6.3. Calidad del ajuste. Coeficiente de determinación
6.4. Predicciones. Usos y abusos
6.5. Ejemplo

6.1. Introducción

Como se ha expuesto en el tema anterior, cuando se estudian dos características simultáneamente sobre una muestra, se puede considerar que una de ellas influye sobre la otra de alguna manera.El objetivo principal de la regresión es descubrir el modo en que se relacionan.

Por ejemplo, en una tabla de pesos y alturas de 10 personas

Altura
175
180
162
157
180
173
171
168
165
165
Peso
80
82
57
63
78
65
66
67
62
58

se puede suponer que la variable “Altura” influye sobre la variable “Peso” en el sentido de que pesos grandes vienen explicados por valores grandes de altura (en general).De las dos variables a estudiar, que vamos a denotar con X e Y, vamos a llamar a la X VARIABLE INDEPENDIENTE o EXPLICATIVA, y a la otra, Y, le llamaremos VARIABLE DEPENDIENTE o EXPLICADA.

En la mayoría de los casos la relación entre las variables es mutua, y es difícil saber qué variable influye sobre la otra. En el ejemplo anterior, a una persona que mide menos le supondremos menor altura y auna persona de poca altura le supondremos un peso más bajo. Es decir, se puede admitir que cada variable influye sobre la otra de forma natural y por igual. Un ejemplo más claro donde distinguir entre variable explicativa y explicada es aquel donde se anota, de cada alumno de una clase, su tiempo de estudio (en horas) y su nota de examen. En este caso un pequeño tiempo de estudio tenderá a obteneruna nota más baja, y una nota buena nos indicará que tal vez el alumno ha estudiado mucho. Sin embargo, a la hora de determinar qué variable explica a la otra, está claro que el “tiempo de estudio” explica la “nota de examen” y no al contrario, pues el alumno primero estudia un tiempo que puede decidir libremente, y luego obtiene una nota que ya no decide arbitrariamente. Por tanto,

X = Tiempode estudio (variable explicativa o independiente)
Y = Nota de examen (variable explicada o dependiente)

El problema de encontrar una relación funcional entre dos variables es muy complejo, ya que existen infinidad de funciones de formas distintas. El caso más sencillo de relación entre dos variables es la relación LINEAL, es decir que

Y = a + b X

(es la ecuación de una recta) donde a y b sonnúmeros, que es el caso al que nos vamos a limitar.

Cualquier ejemplo de distribución bidimensional nos muestra que la relación entre variables NO es EXACTA (basta con que un dato de las X tenga dos datos distintos de Y asociados, como en el ejemplo de las Alturas y Pesos, que a 180 cm. de altura le correspondía un individuo de 82 kg. y otro de 78 kg.).
6.2. Recta de regresión

Un dibujo de la nubede puntos o diagrama de dispersión de la distribución nos puede indicar si es razonable pensar en que puede haber una buena correlación lineal entre las dos variables.


En los diagramas de arriba se puede observar cómo en el de la izquierda, una línea recta inclinada puede aproximarse a casi todos los puntos, mientras que en el otro, cualquier recta deja a muchos puntos alejados de ella. Asípues, el hacer un análisis de regresión lineal sólo estaría justificado en el ejemplo de la izquierda.

Como se puede ver en ambos diagramas, ninguna recta es capaz de pasar por todos los puntos, y seguir siendo recta. De todas las rectas posibles, la RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X es aquella que minimiza un cierto error, considerando a X como variable explicativa o independiente y a Y como laexplicada o dependiente.

Sea y = a + b x una recta arbitraria. Para cada dato de X, es decir, para cada xi de la tabla tenemos emparejado un dato de Y llamada yi, pero también tenemos el valor de sustituir la xi en la ecuación de la recta, al que llamaremos y*i.



Cuando se toma el dato xi, el error que vamos a considerar es el que se comete al elegir y*i en lugar del verdadero yi .Se denota...