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Páginas: 12 (2966 palabras)
Publicado: 27 de octubre de 2013
1 Introducción: secciones cónicas
La hipérbola como sección cónica
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con unplano.
La elipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas comolugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia.
La parábola como sección cónica
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.
Curvas cuadráticas
Definición:
Clasificación de lascónicas
det A ≠ 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0
signo (det A) = signo (a11+a22) Elipse imaginaria
signo (det A) ≠ signo (a11+a22) Elipse real
det A00 < 0 Hipérbola
det A00 = 0 Parábola
det A= 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0 Rectas no paralelas imaginarias
det A00 < 0 Rectas no paralelas reales
det A00 = 0
det A11 + det A22 ≠ 0
det A11 + det A22 > 0 Rectas paralelas imaginarias
det A11 + det A22 < 0 Rectas paralelas reales
det A11 + det A22 = 0 Rectascoincidentes
Elementos notables de las cónicas
Centro:
Polar
Polo
Ecuación reducida
Elipse, hipérbola, pares de rectas no paralelas:
Parábola
Pares de rectas paralelas o coincidentes
Las cónicas como lugares geométricos
Ecuación focal
Cónicas no degeneradas
Cónicas con centro
La elipse como lugar geométrico:
La hipérbola
Un ejemplo real
La hipérbola como lugar geométrico
Cónicas sin centro
La parábola
La parábola como lugar geométrico
2
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
Ecuación (vértice horizontal):
Ecuaciones de las asíntotas:
Ecuación (vértice vertical):Ecuaciones de las asíntotas:
Variables:
r = el radio del círculo
a = el radio mayor (= 1/2 la longitud del eje mayor)
b = el radio menor (= 1/2 la longitud del eje menor)
c = la distancia desde el centre al foco
p = la distancia desde el vértice al foco (o a la directriz)
a = 1/2 la longitud del eje mayor
b = 1/2 la longitud del eje menor
c = la distancia desde el centro alfoco
Excentricidad:
0
El Relación al Foco:
p = 0
p = p
Definición: es el conjunto de todos los puntos que cumple la condición...
la distancia al origen es constante
la suma de las distancias a cada foco es constante
la distancia al foco = la distancia a la directriz
la diferencia entre las distancias a cada foco es constante
Tópicos Similares:
La Sección Geométrica sobreCírculos
ÚNICA ECUACIÓN GENERAL PARA LAS CÓNICAS.
Podemos decir que la ecuación general única, válida para todas las cónicas cuyos ejes son paralelos a los de sus coordenadas podemos escribirla:
Es normal que digas que no comprendes la validez de esta ecuación. Posiblemente extrañarás que falta el coeficiente B. No es que se nos haya olvidado.
Cuando hemos estudiado las cónicas...
La hipérbola como sección cónica
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con unplano.
La elipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas comolugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia.
La parábola como sección cónica
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.
Curvas cuadráticas
Definición:
Clasificación de lascónicas
det A ≠ 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0
signo (det A) = signo (a11+a22) Elipse imaginaria
signo (det A) ≠ signo (a11+a22) Elipse real
det A00 < 0 Hipérbola
det A00 = 0 Parábola
det A= 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0 Rectas no paralelas imaginarias
det A00 < 0 Rectas no paralelas reales
det A00 = 0
det A11 + det A22 ≠ 0
det A11 + det A22 > 0 Rectas paralelas imaginarias
det A11 + det A22 < 0 Rectas paralelas reales
det A11 + det A22 = 0 Rectascoincidentes
Elementos notables de las cónicas
Centro:
Polar
Polo
Ecuación reducida
Elipse, hipérbola, pares de rectas no paralelas:
Parábola
Pares de rectas paralelas o coincidentes
Las cónicas como lugares geométricos
Ecuación focal
Cónicas no degeneradas
Cónicas con centro
La elipse como lugar geométrico:
La hipérbola
Un ejemplo real
La hipérbola como lugar geométrico
Cónicas sin centro
La parábola
La parábola como lugar geométrico
2
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
Ecuación (vértice horizontal):
Ecuaciones de las asíntotas:
Ecuación (vértice vertical):Ecuaciones de las asíntotas:
Variables:
r = el radio del círculo
a = el radio mayor (= 1/2 la longitud del eje mayor)
b = el radio menor (= 1/2 la longitud del eje menor)
c = la distancia desde el centre al foco
p = la distancia desde el vértice al foco (o a la directriz)
a = 1/2 la longitud del eje mayor
b = 1/2 la longitud del eje menor
c = la distancia desde el centro alfoco
Excentricidad:
0
El Relación al Foco:
p = 0
p = p
Definición: es el conjunto de todos los puntos que cumple la condición...
la distancia al origen es constante
la suma de las distancias a cada foco es constante
la distancia al foco = la distancia a la directriz
la diferencia entre las distancias a cada foco es constante
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La Sección Geométrica sobreCírculos
ÚNICA ECUACIÓN GENERAL PARA LAS CÓNICAS.
Podemos decir que la ecuación general única, válida para todas las cónicas cuyos ejes son paralelos a los de sus coordenadas podemos escribirla:
Es normal que digas que no comprendes la validez de esta ecuación. Posiblemente extrañarás que falta el coeficiente B. No es que se nos haya olvidado.
Cuando hemos estudiado las cónicas...
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