gfdgfgg

Páginas: 3 (743 palabras) Publicado: 24 de abril de 2014
´
UNIVERSIDAD CATOLICA DEL NORTE
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

´
PAUTA PRUEBA N◦ 2 ALGEBRA LINEAL MA 290

1. Considere las bases B1 = {1 + x + x2 , 1 + x2 , x + x2 } y B2 = {1 + x2 , 1 + x,1} del
espacio de polinomios de grado 2 con coeficientes reales P2 [R], y la transformaci´n
o
lineal T : P2 [R] → P2 [R] dada por:
T (a + bx + cx2 ) = a + b + c + (2a − b − c)x + 3ax2 .
B
(a)Determine [T ]B2 .
1

(b) Encuentre ρ(T ) y r(T ).
Soluci´n:
o
(a) T (1+x+x2 ) = 1+1+1+(2−1−1)x+3x2 = 3+3x2 = α1 (1+x2 )+β1 (1+x)+γ1 ·1
T (1+x2 ) = 1+0+1+(2−0−1)x+3x2 = 2+x+3x2 = α2 (1+x2 )+β2(1+x)+γ2 ·1
T (x + x2 ) = 0 + 1 + 1 + (2 · 0 − 1 − 1)x + (3 · 0)x2 = 2 − 2x = α3 (1 + x2 ) +
β3 (1 + x) + γ3 · 1.
De aqu´ se obtienen los sistemas de ecuaciones:
ı
α1 + β1 + γ1 = 3
β1
= 0
α1
= 3α2 + β2 + γ2 = 2
β2
= 1
α2
= 3
α3 + β3 + γ3 = 2
β3
= −2
α3
= 0.
Resolviendo estos sistemas de cuaciones se tiene
α1 = 3, β1 = 0, γ1 = 0
α2 = 3, β2 = 1, γ2 = −2
α3 = 0, β3 = −2, γ3 = 4.Por lo tanto,
[T ]B2
B1



3 3
0
= 0 1 −2
0 −2 4

1

(b) Por definici´n Ker(T ) = {a + bx + cx2 ∈ P2 [R] : T (a + bx + cx2 ) = 0 = 0 + 0x + 0x2 }.
o
Luego tenemos que a + bx + cx2∈ Ker(T ) si y s´lo si
o
a + b + c + (2a − b − c)x + 3ax2 = 0 + 0x + 0x2 ,
lo que implica a + b + c = 0; 2a − b − c = 0; 3a = 0
Donde KerT = {bx − bx2 ∈ P2 [R] : b ∈ R} = ⟨{x − x2 }⟩, concluyendoque
ρ(T ) = 1.
Para hallar r(T ) usamos la igualdad Dim(P2 [R]) = ρ(T ) + r(T ), y por lo tanto
r(T ) = 2.
2. Considere la transformaci´n lineal T : R3 → R3 definida por:
o
T (x, y, z) = (x + y, x− z, 2x + y − z).
(a) Caracterice el subespacio Im(T ) y determine una base.
(b) Caracterice el subespacio Ker(T ) y determine una base.
Soluci´n:
o
(a) Im(T ) = {v ∈ R3 : ∃u ∈ R3 tal queT (u) =v}. Es decir, un vector v =
(a, b, c) ∈ Im(T ) si y s´lo si la ecuaci´n
o
o
T (x, y, z) = (a, b, c)
tiene soluci´n. Esto es, si el sistema de ecuaciones
o
x +
y
=a
x −
z
=b .
2x + y −...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS