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Determinación de la Temperatura de Debye
M. Eugenia Capoulat.- Alejandra D. Romero.
Laboratorio de Física 5 – Dto. de Física – FCEyN – U.B.A. – 2005.

Resumen: En esta experiencia determinamos la temperatura de Debye de
varios metales simples mediante un método sencillo y un dispositivo
experimental accesible. Propiedades como la rigidez y la masa atómica de
un sólido estánestrechamente relacionadas con su temperatura de Debye.
Desde este punto de vista, analizamos cualitativamente y de modo
comparativo, las temperaturas de Debye obtenidas para muestras de Pb,
Bi, Zn, Cu, Al y Fe.

I. Introducción:
La Capacidad Calorífica de un cuerpo se define como el cociente entre la cantidad de
calor cedida al cuerpo durante cierta transformación sobre la variación de temperatura.Esta magnitud depende de la masa del cuerpo, su composición química, su estado
termodinámico y el tipo de transformación a la que fue sometido el cuerpo.
A temperatura ambiente, la capacidad calorífica de muchos metales simples (99% de
pureza) es aproximadamente igual es:
3R ≈ 6cal / k .mol

La explicación de este fenómeno fue dada por Dulong y Petit. Esta se basa en la
equipartición de laenergía, considerando un sistema de Na átomos que vibran libremente
lo que forma un sistema con 3Na grados de libertad. La energía total es:
1

U = 6 N a  k BT  = 3RT
2


(1.1)

donde el seis es el producto de los grados de libertad de un átomo (3) por las
contribuciones de energía potencial y cinética (2) y ½ kBT es la energía asociada a cada
grado de libertad y forma deenergía.
La capacidad calorífica puede obtenerse derivando la energía total respecto de la
temperatura dando como resultado 3R.
¿Pero qué sucede a bajas temperaturas?
Estudios posteriores mostraron desviaciones de los valores experimentales de la
capacidad calorífica. La ley de Dulong-Petit es un límite superior y a bajas temperaturas
CV decae como T3, verificando la tercera ley de latermodinámica.
En 1912 Petrus Debye propuso una teoría donde se trataba a un sólido como un medio
clásico homogéneo y excitable mediante ondas estacionarias.

Determinación de la Temperatura de Debye- M. E.Capoulat.- A. D. Romero- UBA 2005

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A partir de la Mecánica Cuántica sabemos que la energía de un sólido está cuantizada y
los cuantos de dicha energía son los fonones, en analogía con los fotonesdel campo
electromagnético.
Si consideramos que el potencial que modela las oscilaciones en la red es armónico
tenemos, para un sistema con 3N grados de libertad, que la energía de cada nivel está
dada por:
1

Ei =  ni +  !ω
2


(1.2)

donde el subíndice i corresponde al modo de oscilación i-ésimo.
Si ahora pensamos al sólido como un continuo elástico de volumen V, tenemos unadistribución g (ω ) d ω que representa el número de modos cuya frecuencia está entre ω y
dωi .
g (ω ) d ω =

3V ω 2
dω
2π 2cS3

(1.3)

En esta expresión cS es la velocidad del sonido1 en el sólido considerando a este como un
medio homogéneo.
Como sabemos el número total de modos es 3N por lo tanto podemos calcular la
frecuencia máxima como:
3N =

ωm

∫ g (ω ) dω

(1.4)

0Lo que da como resultado:
 6 Nπ 2 
ωm = cS 

 V 

1

3

(1.5)

La ecuación (1.5) es la denominada frecuencia de Debye.
La expresión de la energía se puede obtener a partir de la siguiente integral:
U
3V
= 2 3
N 2π cS

ωm

∫
0

!ω
ω 2dω
e
−1
β !ω

donde β=1/kBT podemos entonces definir la temperatura de Debye como:

1

cS = 340 m

s

a temperaturaambiente en el aire, en un sólido la velocidad del sonido es mayor.

Determinación de la Temperatura de Debye- M. E.Capoulat.- A. D. Romero- UBA 2005

(1.6)

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TD =

!ωm
kB

(1.7)

Entonces la capacidad calorífica en función de T/TD:
T
CV 
 TD


T 
 = 3R  

 TD 

T / TD

∫
0

x 4e x

(e − 1)
x

2

dx

(1.8)

La ecuación (1.8) es la expresión de...