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Matemáticas III
Unidad 1:
Vectores

Elementos claves
Vector:

- Conjunto ordenado de valores
- Magnitud o distancia
- Dirección
x2
(4; 6)

6

a = (4; 6)

4

x1

 4
a 
6

Ejemplos
Ubique los siguientes vectores en el plano:
a = (1; 7)
b = (-3; 2)
c = (1; -4)

d = (-3; -1)
En general, un vector en Rn puede escribirse como:

 a1 
a 
a   2

 a n 

Donde ai ∈ R ∀ i = 1,2,3,…,n

Operaciones con vectores
1. Igualdad
a = b ⇔ ai = bi

∀ i = 1,2,3,…,n

Ejemplo:
Si a = b, halle los valores de x e y:

 1 
x  y
a

 y



1 
2
b 
1 
 

Operaciones con vectores
 a1  b1 
a  b 
 2 2
c  ab 
  


an  bn 

2. Suma

Gráfica en R2
x2

b
a

a

c

b
x1Operaciones con vectores
3. Producto de un escalar por un vector

 ka1 
ka 
 2
ka 
  
 
kan 

Gráfica en R2
2a

x2

x2

a

a
x1

-a

x1

Operaciones con vectoresGráfica de la diferencia de vectores

c = a – b = a + (-b)
x2
a
-b
c

c
b

x1
-b

Operaciones con vectores
4. Producto Interno (producto escalar)

a  b  a' b  a1

a2

 b1 b 
 2
 an 

 
bn 

a' b  a1b1  a2b2    anbn
n

a' b   ai bi
i 1

El resultado del producto interno es un escalar

Operaciones con vectores
Propiedades
1. a b  c   a  b  c
2. a  b  b  a
3. k a  b  k a  k b,

k  R

4. a    a

a'  0
5. a' b  c   a' b  a' c
6. a' b  b' a

Vector Unidad
Es aquel vector cuyo i-ésimoelemento es la unidad,
siendo iguales a cero el resto de elementos.
En R3

1 
e1  0
 
0 
 

0 
e 2  1 
 
0 
 

0 
e 3  0 
 
1 
 

Magnitud, móduloo norma
d  a  a a
2
1

x2

2
2

a

a2

En general, en Rn
2
2
a  a12  a2  ...  an

a1

 a1 
a 
 a2 

x1

a 

n

ai2

i 1

a' a  a

2...