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TAREA N° 1 CÁLCULO DIFERENCIAL.

1. Si x,y ϵ R / 0 < x < y, entonces demuestre que
x < xy < x+y2 < y
Demostración:
Partiendo de la hipótesis x < y, multiplico a ambos lados por x (siendo éste positivo, por hipótesis nuevamente, el sentido de la desigualdad se mantiene), quedando x² < xy, luego extraigo raíz, al ser ambos valores positivos nuevamente la desigualdad semantiene como está, quedando x² < xy, pero x² = |x|, y como x > 0, queda x² = x, demostrándose ahí la primera parte (x < xy).
Nuevamente partiendo de la hipótesis ahora demostraré xy < x+y2, por hipótesis sabemos que x ≠ y, por ende x ≠ y, y además sabemos que toda expresión real al cuadrado es mayor o igual a cero, pero (x – y)² nunca será cero ya que son valores distintos los que serestan por lo dicho anteriormente, por lo tanto (x – y)²> 0, al resolver el cuadrado de binomio queda:
x - 2xy + y > 0, usando el inverso aditivo de - 2xy, queda x + y > 2xy, luego multiplico por 12, que al ser un valor positivo no me varía el sentido de la desigualdad y quedará finalmente lo que tenía que demostrar xy < x+y2 .
Por transitividad x+y2 > x, ahora me queda demostrarla última desigualdad, para ello también partiré por la hipótesis x < y, sumo y a ambos lados, y resulta x + y < 2y, luego multiplico por 12, y queda x+y2 < y.
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2. Demostrar que ∀ x,y ϵ R, entonces |x|-|y| ≤ |x – y|

Demostración:
Partiré desde la desigualdad triangular la que dice |x + y| ≤ |x|+|y|, teniendo en cuenta esto, anotaré |x| como |(x-y)+y|* (lo que se conoce comosumar un cero) y por desigualdad triangular |(x-y)+y| ≤ |x-y|+|y|, ahora reemplazando |x| en *, quedará |x| ≤ |x-y|+|y|, le sumo el inverso aditivo de |y| y quedará finalmente |x|-|y| ≤ |x-y|.
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3. Demostrar que (∀ xϵR)∃nϵN: x<n.

Demostración:
Lo que me piden demostrar es que existe un n en los Naturales mas grande que cualquier x en los Reales, en otras palabras que el conjunto delos números naturales NO es acotado superiormente. Para hacer esta demostración usare el método del absurdo y aplicaré la materia del axioma del supremo.
Negaré la tesis, por ende supondré que N si es acotado superiormente, quiere decir que tiene supremo, recordando que el supremo es la menor de las cotas superiores de un conjunto.
Sea ϑ = sup N, ∀ n ϵ N, por Peano (n+1) también es N, por lotanto (n+1) también es menor o igual que ϑ, ya que éste es el supremo supuestamente, expresado así (n+1) ≤ϑ, osea n ≤ϑ – 1, ∀ n ϵ N, lo que significa que ϑ – 1 es cota superior de N, lo que es una contradicción, ya que ϑ – 1 < ϑ, y habíamos dicho que el supremo, osea la menor de las cotas superiores era justamente ϑ, por ende no puede haber una cota superior menor que ϑ.
De aquí se concluye que Nno es acotado superiormente, y que por ende siempre será mayor que cualquier número real. ▪

4. ∀ x,y,z ϵ R, entonces |x|+|y|+|z| ≥ |x + y + z|, indicar cuando se cumple la igualdad.

Bueno, es evidente que se cumplirá la igualdad cuando x,y,z son los 3 iguales a cero, o cuando son iguales, por ejemplo x=2; y=2; z=2, también se cumplirá, y finalmente cuando tengan el mismo signo, ya seantodos positivos o todos negativos, ya que si bien la parte izquierda de la desigualdad transformará todos los números en positivos en caso de ser negativos, por la definición de valor absoluto, la parte derecha se podrá factorizar por -1 y transformar todo en sumas de números positivos, y la propiedad |-a| = |a| permite eso, por ejemplo si tomamos los siguientes valores, x= -3; y= -1; z= -2 (todosnegativos, ya que si son todos positivos es trivial el cumplimiento de la igualdad), se tiene que |-3| = -(-3), ya que -3 es menor que 0, por ende quedará 3, y así sucesivamente con los otros dos números, por lo tanto la parte izquierda quedará como suma de tres números positivos, y la parte derecha se puede ver así:
|-3 -1 -2| = |-(3+1+2)|=|3+1+2|, por ende ahí también queda como suma de...